Функциональные последовательности и ряды

Функциональные последовательности

$D$ - область сходимости $\{f_n(x)\}$. Пусть $D:\mathrm{\forall }x\in D\mathrm{\exists }\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_n(x)=f(x)$ - обозначение предельного значения. Совокупность всех предельных значений есть функция, определенная на множестве $D$. Эта функция $f(x)$ называется предельной функцией последовательности $\{f_n(x)\}$.

Функциональные ряды

Пусть дана функциональная последовательность $\{U_n(x)\}$ определенная на множестве $X$.

Формальное выражение вида $U_1(x)+U_2(x)+\dots +U_n(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_n(x)$ называется функциональным рядом.

Множество $X$ - область определения ряда. Сумма $n$ первых членов ряда $S_n=\sum _{k=1}^n{U}_k(x)$ называется $n$-ой частичной суммой функционального ряда. Заметим, что $\{S_n(x)\}$ является функциональной последовательностью, определенной на $X$.

Пусть точка $x_0\in X$

Если функциональный ряд сходится на множестве $D$, то его сумма есть функция $S(x)$, определенная на $D$. Очевидно, $S(x)$ есть предел функциональной последовательности $\{S_n(x)\}$.

Геометрический смысл равномерной сходимости

$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon \mathrm{\forall }n>N\mathrm{\forall }x\in E$, то есть графики всех функций с номером $n>N$ на множестве $E$ лежат в "$\epsilon$-полоске" графика функции $f(x)$.

Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

Функциональный ряд сходится равномерно на $E$ к функции $S(x)\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N:\mathrm{\forall }n>N\mathrm{\forall }x\in E:|S(x)-S_n(x)|<\epsilon \iff |r_n(x)|<\epsilon$. Получаем эквивалентное определение равномерной сходимости функционального ряда.