Функции комплексного переменного

Пусть $f(z)$ определена в $U(z)$

Доказательства этих теорем аналогичны действительному случаю для функции одной переменной.

Геометрический смысл

Пусть $f(z)$ дифференцируема в некоторой окрестности $U_{\epsilon }(z_0)$ и $f(z_0)=0$. Тогда область $U_{\epsilon }(z_0)$ отображается на некоторую область $D$ на плоскости $W$. Рассмотрим $\mathrm{\forall }(z_0+\mathrm{\Delta }z)\in U_{\epsilon }(z_0)\Rightarrow$ приращение $\mathrm{\Delta }z$ соответствует приращению $\mathrm{\Delta }w$ функции $f(z)$. Так как $f(z)$ дифференцируема в точке $z_0$, то $\mathrm{\Delta }w=f^{\prime }(z_0)\mathrm{\Delta }z+\alpha (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }z,\alpha (\mathrm{\Delta }z)\to 0$ при $\mathrm{\Delta }z\to 0\Rightarrow$ слагаемое $\alpha (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }z$ - бесконечно малое более высокого порядка чем $\mathrm{\Delta }z$. Если $f^{\prime }(z_0)=0\Rightarrow \mathrm{\Delta }w\approx f^{\prime }(z_0)\mathrm{\Delta }z,|\mathrm{\Delta }w|\approx |f^{\prime }(z_0)||\mathrm{\Delta }z|,Arg\mathrm{\Delta }w\approx Arg{f}^{\prime }(z_0)+Arg\mathrm{\Delta }z(*)\Rightarrow \frac{|\mathrm{\Delta }w|}{|\mathrm{\Delta }z|}\approx |f^{\prime }(z_0)|$ то есть модуль производной $|f^{\prime }(z_0)|$ есть коэффициент растяжения при отображении $f(z)$. Если $|f^{\prime }(z_0)|>1\Rightarrow$ - растяжение, $|f^{\prime }(z_0)|>1\Rightarrow$ - сжатие. Величина $Arg{f}^{\prime }(z_0)$ есть угол поворота при отображении $f(z)$. Если рассматривать произвольную гладку кривую $\alpha (t)$ проходящую через точку $z_0$, то $Arg{f}^{\prime }(z_0)$ есть угол, на который нужно повернуть касательную к кривой $\alpha (t)$ в точке $z_{)}$, чтобы получить направление каcательной к образу $f(\alpha (t))$ этой кривой в точке $w_0=f(z_0)$