Теория устойчивости

Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость решений систем дифференциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову решений систем с постоянными коэффициентами.

Понятие об устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости

Рассмотрим задачу Коши: ${\begin{matrix} {\overline{y}}^{'} = \overline{f} (t, \overline{y} (t)), t \geq t_{0}, \\ \overline{y} (t_{0}) = {\overline{y}}_{0} \end{matrix}$

Её решение $\overline{y}$ единственно и определено $\forall t > t_{0}$ . Пусть $\overset{*}{\overline{y}} (t)$ - решение задачи с возмущенным начальным значением: ${\begin{matrix} (\overset{*}{\overline{y}})^{'} = \overline{f} (t, \overset{*}{\overline{y}} (t)), t \geq t_{0}, \\ \overset{*}{\overline{y}} (t_{0}) = {\overline{y}}_{0}^{*} \end{matrix}$ Шаблон:Определение Шаблон:Определение

Точки покоя

Заметим, что погрешность $\overline{x} (t) = \overset{*}{\overline{y}} (t) - \overline{y} (t)$ является решением задачи Коши ${\begin{matrix} {\overline{x}}^{'} = \overline{Φ} (t, \overline{x} (t)), t \geq t_{0}, \\ \overline{x} (t_{0}) = {\overline{x}}_{0} = {\overline{y}}_{0}^{*} - {\overline{y}}_{0} \end{matrix}$ где $\overline{Φ} (t, \overline{x} (t)) = \overline{f} (t, \overline{y} (t) + \overline{x} (t)) - \overline{f} (t, \overline{y} (t))$

Невозмущенному решению соответствует точка покоя системы: $\overline{x} (t) \equiv \overline{0}$ Шаблон:Определение

Устойчивость по Ляпунову решений систем с постоянными коэффициентами

Исследуется устойчивость точки покоя однородной системы:

{\begin{matrix} x_{1^{'}} (t) = a_{11} x_{1} (t) + a_{12} x_{2} (t) \\ x_{2^{'}} (t) = a_{21} x_{1} (t) + a_{22} x_{2} (t) \end{matrix}

Шаблон:МатТеорема

В матричной форме:

${\vec{y}}^{'} = A \vec{y} + \vec{f} (t)$ , $A$ - матрица с постоянными коэффициентами.

{\begin{matrix} {\vec{x}}^{'} (t) = A \vec{x} (t) & (2.1) \\ \vec{x} (t_{0}) = {\vec{x}}_{0} & (2.2) \end{matrix}

(2.3) \vec{x} (t) = \sum_{s = 1}^{n} \sum_{l = 1}^{k_{s}} z_{s l} {\vec{e}}_{s}^{(l)}; z_{s l} (t) = e^{λ_{s} t} P_{k_{s} - 1, s}^{(l - 1)}

Шаблон:МатТеорема

Шаблон:Доказательство

Шаблон:МатТеорема

Простейшие типы точек покоя

{\begin{matrix} x_{1^{'}} (t) = a_{11} x_{1} (t) + a_{12} x_{2} (t) \\ x_{2^{'}} (t) = a_{21} x_{1} (t) + a_{22} x_{2} (t) \end{matrix}

$λ_{1}$ и $λ_{2}$ вещественны и различны:

$λ_{1} < λ_{2} < 0$ $\overline{x} (t) = c_{1} e^{λ_{1} t} {\overline{e}}_{1} + c_{2} e^{λ_{2} t} {\overline{e}}_{2}$ . "устойчивый узел"
$0 < λ_{1} < λ_{2}$ "неустойчивый узел"
неустойчивый узел
$λ_{1} < 0 < λ_{2}$ "седло"
седло
$λ_{1} < λ_{2} = 0$ $\overline{x} (t) = c_{1} e^{λ_{1} t} {\overline{e}}_{1} + c_{2} {\overline{e}}_{2}$ - точка покоя устойчивая
точка покоя устойчивая
$0 = λ_{1} < λ_{2}$ $\overline{x} (t) = c_{1} {\overline{e}}_{1} + c_{2} e^{λ_{2} t} {\overline{e}}_{2}$ - точка покоя неустойчива
точка покоя неустойчива

$λ_{1}$ и $λ_{2}$ комплексны и различны:

λ_{1, 2} = α \pm i β

$β \neq 0, α < 0$ $\overline{x} (t) = e^{α t} R e [c_{1} e^{i β t} {\overline{e}}_{1} + c_{2} e^{- i β t} {\overline{e}}_{1}]$ "устойчивый фокус"
устойчивый фокус
$α > 0$ "неустойчивый фокус"
неустойчивый фокус
$α = 0$ "центр" - устойчивая точка покоя
устойчивая точка покоя

$λ_{1} = λ_{2}$ - вещественны и есть 2 линейно независимых вектора:

$λ < 0$ "устойчивый звездный узел"
устойчивый звездный узел
$λ > 0$ "неустойчивый звездный узел"
неустойчивый звездный узел
$λ = 0$ покой - $A = 0$
неустойчивая точка покоя

$λ_{1} = λ_{2}$ - вещественны и есть только 1 линейно независимый вектор:

\overline{x} (t) = e^{λ_{1} t} [(c_{1} t + c_{2}) {\overline{e}}_{1} + c_{1} {\overline{e}}_{2}]^{α \pm i β}, β \neq 0

$λ < 0$ "устойчивый вырожденный узел"
устойчивый вырожденный узел
$λ > 0$ "неустойчивый вырожденный узел"
неустойчивый вырожденный узел
$λ = 0$ - $\overline{x} (t) = (c_{3} t + c_{2}) {\overline{e}}_{1} + c_{1} {\overline{e}}_{2}$ неизолированная неустойчивая точка покоя
неизолированная неустойчивая точка покоя

Исследование на устойчивость по первому приближению. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости.

Исследование на устойчивость по первому приближению

$\frac{d \vec{x}}{d t} = \vec{f} (t, \vec{x}) (1)$

$\vec{x} (t) \equiv \vec{o}, \vec{f} (t, \vec{0}) \equiv 0$ . $f_{1} (t, \vec{x}) = f_{i} (t, \vec{0}) + \sum_{j = 1}^{m} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} (t, \vec{0}) x_{j} + R_{i} (t, \vec{x})$ . Первое слагаемое равно нулю, второе является первым дифференциалом, каждое слагаемое равно $a_{i, j} (t)$ . Третье слагаемое есть $\bar{\bar{o}} (| x |)$

Следовательно (1) можно преобразовать к виду $\frac{d \vec{x}}{d t} = A (t) \vec{x} + \vec{R} (t, \vec{x})$ . Тогда $\frac{d \vec{x}}{d t} = A (t) \vec{x} (2)$ является системой уравнений первого приближения. Система (1) стационарна в первом приближении $\Leftrightarrow A$ не зависит от $t$ .