Теория вероятностей и математическая статистика/Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Одной из основных задач математической статистики является задача оценки неизвестного параметра распределения генеральной совокупности по выборке.

Точечная оценка

Пусть изучается некоторый признак генеральной совокупности (случайная величина $X$). Параметром распределения $\theta$ случайной величины $X$ называется числовая характеристика этой случайной величины (математическое ожидание, дисперсия и т. д.). Требуется по выборке $x_1,x_2,\dots ,x_n$, полученной в результате n наблюдений, оценить неизвестный параметр $\theta$.

Точечной оценкой параметра $\theta$ называется функция $\tilde{\theta }(x_1,\dots ,x_n)$, построенная по выборке (ее также называют статистикой). Заметим, что оценка $\tilde{\theta }(x_1,\dots ,x_n)$ является случайной величиной.

Оценку называют несмещенной, если $𝐌\tilde{\theta }=\theta$. В противном случае оценку называют смещенной.

Пусть наблюдаются варианты $x_1,x_2,\dots ,x_k$ с частотами $n_1,n_2,\dots ,n_k$ соответственно, $n$ — объем выборки.

Приведем некоторые точечные оценки параметров генеральной совокупности:

1. Выборочное среднее вычисляется по формуле $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^k{n}_i{x}_i$. Выборочное среднее является несмещенной оценкой математического ожидания исследуемого признака.
2. Выборочная дисперсия вычисляется по формуле $D=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^k{n}_i(x_i-\overline{x}{)}^2=\overline{x^2}-(\overline{x}{)}^2$. Она является смещенной оценкой дисперсии исследуемого признака. Поэтому в качестве несмещенной оценки используют исправленную выборочную дисперсию $s^2=\frac{n}{n-1}D=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^k{n}_i(x_i-\overline{x}{)}^2=\frac{1}{n-1}(\sum _{i=1}^k{n}_i{x}_i^2-n(\overline{x}{)}^2)$

Интервальная оценка параметров генеральной совокупности

Интервал $(\widetilde{{\theta }_1},\widetilde{{\theta }_2})$, покрывающий с вероятностью $\gamma$ истинное значение параметра $\theta$, называется доверительным интервалом, а вероятность $\gamma$ — доверительной вероятностью (или надежностью), т. е. $𝐏(\widetilde{{\theta }_1}<\tilde{\theta }<\widetilde{{\theta }_2})=\gamma$.

Для симметричного интервала $(\tilde{\theta }-\epsilon ,\tilde{\theta }+\epsilon )\epsilon >0$ называется точностью.

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания   a   нормального распределения

Пусть исследуемый признак генеральной совокупности распределен нормально.

1. Интервальной оценкой с надежностью $\gamma$ математического ожидания $a$ нормально распределенного количественного признака по выборочному среднему значению при известном среднем квадратическом отклонении $\sigma$ генеральной совокупности служит доверительный интервал $\overline{x}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}t<a<\overline{x}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}t$, где $t$ удовлетворяет уравнению $\mathrm{\Phi }(t)=\frac{\gamma }{2}$. Значение $t$ находится из таблицы приложения 2.
2. При неизвестном среднем квадратическом отклонении $\sigma$ используют интервал $\overline{x}-\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{\alpha ,n-1}<a<\overline{x}+\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{\alpha ,n-1}$, где $s$ — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, $t_{\alpha ,n-1}$ находится из таблицы приложения 3 по данным $\alpha$ и $n$, $\alpha =1-\gamma$.

Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения

Интервальной оценкой с надежностью $\gamma$ среднего квадратического отклонения $\sigma$ нормально распределенного количественного признака по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению $s$ генеральной совокупности служит доверительный интервал $s(1-q)<\sigma <s(1+q)$, $q<1$; $0<\sigma <s(1+q)$, $q>1$, где значение $q=q_{\gamma ,n}$ находится из таблицы приложения приложения 4 по данным $\gamma$ и $n$.

Примеры

Пример 1

В результате шести измерений некоторой физической величины одним прибором получены следующие результаты: 25; 23; 21; 26; 22; 23.

1. Найти несмещенные оценки генерального среднего и генеральной дисперсии измерений.
2. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально. Найти границы, в которых с вероятностью $\gamma =0.95$ заключено среднее значение измерений, если:
   1. среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерения (точность прибора) равно 2;
   2. среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерения неизвестно.

Решение:

1. Несмещенной оценкой генерального среднего является $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^k{n}_i{x}_i=\frac{1}{6}(25+23+21+26+22+23)=23.333$.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является $s^2=\frac{n}{n-1}D=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^k{n}_i(x_i-\overline{x}{)}^2=$$\frac{1}{5}((25-23.333{)}^2+(23-23.333{)}^2+(21-23.333{)}^2+(26-23.333{)}^2+(22-23.333{)}^2+(23-23.333{)}^2))=$$17.333/5=3.467$

2. Найдем интервальные оценки для генерального среднего.

2.1. Среднее квадратическое отклонение равно $\sigma =2$. Следовательно, доверительный интервал для среднего значения признака $a$ имеет вид $\overline{x}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}t<a<\overline{x}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}t$, где $t$ определяется из уравнения $\mathrm{\Phi }(t)=\frac{\gamma }{2}$.

Получим $\mathrm{\Phi }(t)=\frac{0.95}{2}=0.475$. Из таблицы приложения 2 находим, что $t=1.96$ и $23.333-\frac{2}{\sqrt{6}}1.96<a<23.333+\frac{2}{\sqrt{6}}1.96$ или $21.732<a<24.933$.

2.2. Доверительным интервалом для среднего значения признака $a$ при неизвестном среднем квадратическом отклонении служит интервал $\overline{x}-\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{\gamma ,n-1}<a<\overline{x}+\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{\gamma ,n-1}$.

Здесь $\overline{x}=23.333$, $s=\sqrt{s^2}=\sqrt{3.467}=1.862$, $\alpha =1-\gamma -0.05$. Значение $t_{\alpha ,n-1}$ находится из таблицы приложения 3, $t_{\alpha ,n-1}=t_{0.05,5}=2.57$.

Получим доверительный интервал $23,333-\frac{1.862\cdot 2.57}{\sqrt{6}}<a<23,333+\frac{1.862\cdot 2.57}{\sqrt{6}}$ или $21.379<a<25.287$.

Упражнения

<quiz display=simple> { При каком условии оценку называют несмещенной? |type="()"} - $𝐌\theta =\tilde{\theta }$ + $𝐌\tilde{\theta }=\theta$ - $𝐌\theta =\theta$

{ По какой формуле вычисляется выборочное среднее? |type="()"} + $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^k{n}_i{x}_i$ - $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{k}n{x}_i$ - $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^k{n}_k{x}_i$

</quiz>