Теория вероятностей и математическая статистика/Случайные величины

Случайные величины

Случайной величиной $X(\omega )$ называют функцию, отображающую пространство элементарных событий во множество действительных чисел.

В случае бесконечного несчетного множества элементарных событий это определение нуждается в уточнении, связанном с измеримостью функции.

Случайные величины будем обозначать заглавными буквами $X,Y,Z,\dots$.

Законом распределения случайной величины называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всех возможных событий, связанных со случайной величиной.

Функцией распределения случайной величины называется функция, определяемая равенством $F(x)=P(X<x)$.

Свойства функции распределения:

1. $0\le F(x)\le 1$;
2. $F(x)$ — неубывающая;
3. $F(-\mathrm{\infty })=0,F(+\mathrm{\infty })=1$;
4. $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0-0}F(x)=F(x_0)$.

Вероятность того, что случайная величина X примет значение из промежутка $[a,b)$, равна $P(a\le X<b)=F(b)-F(a)$.

Далее будем рассматривать два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Упражнения

<quiz display=simple>

{ Каким равенством определяется функция распределения? |type="()"} - $F(x)=P(X>x)$ + $F(x)=P(X<x)$ - $F(x)=P(X\le x)$

{ Выберите верные свойства функции распределения |type="[]"} - $0<F(x)<1$ + $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0-0}F(x)=F(x_0)$. + $F(-\mathrm{\infty })=0$

</quiz>