Теория вероятностей и математическая статистика/Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины

Плотностью распределения случайной величины называется неотрицательная кусочно-непрерывная функция $f(x)$, для которой выполняется соотношение $F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$.

Случайная величина, у которой существует плотность распределения, называется непрерывной. Значения непрерывной случайной величины непрерывно заполняют некоторый(конечный или бесконечный) промежуток.

Из определения следует, что $f(x)=F^{\prime }(x)$.

Важным свойством плотности распределения является $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=1$.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина $X$ примет значение из отрезка $[a,b)$, равна $𝐏(a\le X<b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$.

Для непрерывной случайной величины верно равенство $𝐏(a\le X\le b)=𝐏(a<X\le b)=𝐏(a<X<b)=𝐏(a\le X<b)$

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле $𝐌X=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)\mathrm{d}x$.

Дисперсия непрерывной случайной величины имеет вид $𝐃X=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-𝐌X{)}^{2}f(x)\mathrm{d}x$

Для вычисления дисперсии, так же, как и для дискретной случайной величины, используют более удобную формулу $𝐃X=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2}f(x)\mathrm{d}x-(𝐌X{)}^2$

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины вычисляется по формуле $\sigma X=\sqrt{𝐃X}$

Для непрерывных случайных величин свойства математического ожидания и дисперсии аналогичны представленным в разделе Дискретные случайные величины.

Примеры

Пример 1

Случайная величина $X$ задана функцией распределения $F(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x\le 2,\\ \frac{1}{2}x-1,& 2<x\le 4,\\ 1,& x>4\end{array}$

Найти:

1. Плотность распределения;
2. $𝐏(1<X<3),𝐌X,𝐃X$.

Решение:

1. Воспользуемся определением плотности распределения вероятностей $f(x)=F^{\prime }(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x\le 2,\\ \frac{1}{2},& 2<x\le 4,\\ 0,& x>4\end{array}$

2. Будем использовать формулу $𝐏(a<X<b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$. Искомая вероятность равна $𝐏(1<X<3)=\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{1}{\overset{2}{\int }}0\mathrm{d}x+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{1}{2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}$.

Также вероятность можно было найти с помощью формулы $𝐏(a<X<b)=F(b)-F(a)=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$.

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины $X$:$$ $𝐌X=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)\mathrm{d}x=\underset{2}{\overset{4}{\int }}x\frac{1}{2}\mathrm{d}x=3$;

$𝐃X=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2}f(x)\mathrm{d}x-(𝐌X{)}^2=\underset{2}{\overset{4}{\int }}{x}^2\frac{1}{2}\mathrm{d}x-(𝐌X{)}^2=\frac{28}{3}-9=\frac{1}{3}$.

Пример 2

Случайная величина $X$ задана плотностью распределения $f(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x\le 0,\\ c{x}^2,& 0<x\le 3,\\ 0,& x>3\end{array}$

Найти:

1. постоянную $c$
2. функцию распределения

Решение:

1. Для нахождения постоянной $c$ воспользуемся свойством плотности $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=1$. Подставляя в формулу явный вид $f(x)$, получим уравнение $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}0\mathrm{d}x+\underset{0}{\overset{3}{\int }}c{x}^2\mathrm{d}x+\underset{3}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}0\mathrm{d}x=1$.

Отсюда $\underset{0}{\overset{3}{\int }}c{x}^2\mathrm{d}x=c\frac{x^3}{3}{|}_0^3=c\frac{27}{3}=1$. Значит, $c=\frac{3}{27}$.

2. Согласно определению, $F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$

Тогда:

1. Для $x\le 0$ получим $F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}0\mathrm{d}t=0$, так как $f(t)=0$ для $t\le x$.
2. Для $0<x\le 3$ получим $F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}0\mathrm{d}t+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{3}{27}{t}^2\mathrm{d}t=\frac{3}{27}\frac{t^3}{3}{|}_0^3=1$.
3. Для $x>3$ получим $F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}0\mathrm{d}t+\underset{0}{\overset{3}{\int }}\frac{3}{27}{t}^2\mathrm{d}t+\underset{3}{\overset{x}{\int }}0\mathrm{d}t=\frac{3}{27}\frac{t^3}{3}{|}_0^3=1$.

Таким образом, функция распределения имеет вид $F(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x\le 0,\\ \frac{x^3}{27},& 0<x\le 3,\\ 1,& x>3\end{array}$

Упражнения

<quiz display=simple>

{ Выберите верное соотношение, при котором неотрицательная кусочно-непрерывная функция $f(x)$ является плотностью распределения случайной величины |type="()"} + $F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$ - $F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ - $F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$

{ Какой вид имеет дисперсия непрерывной случайной величины? |type="()"} - $\sigma X=\sqrt{𝐃X}$ - $𝐌X=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)\mathrm{d}x$ + $𝐃X=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-𝐌X{)}^{2}f(x)\mathrm{d}x$ </quiz>