Теория вероятностей и математическая статистика/Законы распределения случайных величин

Рассмотрим некоторые законы распределения дискретных случайных величин: биномиальный, Пуассона и непрерывных — равномерный, показательный и нормальный.

Биномиальный закон распределения

Пусть проводится $n$ испытаний Бернулли, в результате каждого из которых событие $A$ может появиться с вероятностью $p$ и не появиться с вероятностью $q=1-p$. В серии из $n$ испытаний событие $A$ может появиться $k$ раз, $k=0,1,\dots ,n$. Рассмотрим дискретную случайную величину $X$ - число появлений события $A$ в $n$ испытаниях. Случайная величина $X$ имеет следующий закон распределения вероятностей:

$x_k$	0	1	2	$\dots$	$k$	$\dots$	$n$
$p_k$	$P_n(0)$	$P_n(1)$	$P_n(2)$	$\dots$	$P_n(k)$	$\dots$	$P_n(n)$

Вероятности $P_n(k)$ вычисляются по формуле $P_n(k)=P(X=k)=C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$.

Закон распределения дискретной случайной величины, определяемый формулой Бернулли, называется биномиальным с параметрами $n$ и $p$.

Функция биномиального распределения имеет вид $F(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x\le 0,\\ \sum _{k<x}{C}_n^k{p}^k{q}^{n-k}& 0<x\le n,\\ 1,& n<x\end{array}$

$𝐌X=np,𝐃X=npq$.

Распределение Пуассона

Дискретная случайная величина $X$ называется распределенной по закону Пуассона с параметром $\lambda$, если она принимает значения $k=0,1,\dots ,n$ с вероятностями $p_k=𝐏(X=k)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$, $𝐌X=𝐃X=\lambda$.

Распределение Пуассона с параметром $\lambda =np$ является хорошей аппроксимацией биномиального закона распределения при больших значениях $n$ и малых значениях $p$.

Равномерный закон распределения

Кусочно-линейная функция $F(x)$, равномерный рост на интервале от 10 до 30.

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке $[a,b]$, если ее плотность имеет вид $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{b-a},& x\in [a,b],\\ 0,& x\notin [a,b].\end{array}$

Функция распределения определена следующим образом: $F(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x\le a,\\ \frac{x-a}{b-a}& x\in [a,b],\\ 1,& x>b;\end{array}$

$𝐌X=\frac{a+b}{2},𝐃X=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

Показательный закон распределения

Показательный закон функции $F(x)=\{\begin{array}{cc}1-e^{-\lambda x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0.\end{array}$ распределения для лямбда от 0 до 2

Непрерывная случайная величина имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром $\lambda >0$, если ее плотность распределения имеет вид $f(x)=\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0.\end{array}$

Функция распределения имеет вид $F(x)=\{\begin{array}{cc}1-e^{-\lambda x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0.\end{array}$

$𝐌X=\frac{1}{\lambda },𝐃X=\frac{1}{{\lambda }^2}$.

Нормальный закон распределения

График плотности вероятности нормального распределения и процент попадания случайной величины на отрезки, равные среднеквадратическому отклонению.

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике.

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами $a$ и $\sigma$ (записывается $X\sim N(a,\sigma )$), если ее плотность распределения имеет вид $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-a{)}^2}{2{\sigma }^2}}$.

Функция распределения имеет вид $F(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{e}^{-\frac{(t-a{)}^2}{2{\sigma }^2}}\mathrm{d}t$, $𝐌X=a,𝐃X={\sigma }^2$.

Если $a=0$ и $\sigma =1$, то нормальное распределение называют стандартным нормальным. Плотность стандартного нормального распределения имеет вид $\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$, а функция распределения $F_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$.

Значения этих функций находятся из специальных таблиц приложений 1 и 2.

Введенная ранее функция $\mathrm{\Phi }(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$ и $F_0(x)$ связаны соотношением $F_0(x)=0.5+\mathrm{\Phi }(x)$.

Тогда значение функции распределения нормальной случайной величины с параметрами $a$ и $\sigma$ может быть найдено по формуле $F(x)=0.5+\mathrm{\Phi }(\frac{x-a}{\sigma })$.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины с параметрами $a$ и $\sigma$ в промежуток $(\alpha ,\beta )$ равна: $𝐏(\alpha <X<\beta )=\mathrm{\Phi }(\frac{\beta -\alpha }{\sigma })-\mathrm{\Phi }(\frac{\alpha -a}{\sigma })$

Вероятность отклонения нормальной случайной величины с параметрами $a$ и $\sigma$ от своего математического ожидания, т. е. вероятность неравенства $|X-a|<\sigma$, равна: $𝐏(|X-a|<\delta )=2\mathrm{\Phi }(\frac{\delta }{\sigma })$.

Если $\frac{\delta }{\sigma }=3$, то $𝐏(|X-a|<3\sigma )=0.9973$.

Примеры

Пример 1

Построить закон распределения и функцию распределения числа попаданий мяча в корзину при $3$ бросках, если вероятность попадания каждый раз равна $0.8$.

Решение:

Здесь случайная величина $X$ — число попаданий мяча в корзину при $3$ бросках. Так как броски являются независимыми испытаниями, в каждом из которых событие "попасть в корзину" появляется с одинаковой вероятностью, то случайная величина $X$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n=3$, $p=0.8$.

$P(X=0)=P_3(0)=C_3^0(0.8{)}^0(0.2{)}^3=0.008$,

$P(X=1)=P_3(1)=C_3^1(0.8{)}^1(0.2{)}^2=0.096$,

$P(X=2)=P_3(2)=C_3^2(0.8{)}^2(0.2{)}^1=0.384$,

$P(X=3)=P_3(3)=C_3^3(0.8{)}^3(0.2{)}^0=0.512$.

$x_k$	0	1	2	3
$p_k$	$P_3(0)=0.008$	$P_3(1)=0.096$	$P_3(2)=0.384$	$P_3(3)=0.512$

Функция распределения случайной величины $X$ имеет следующий вид: $F(x)=\sum _{x_i<x}𝐏(X=x_i)=\{\begin{array}{cc}0,& x\le 0,\\ 0.008,& 0<x\le 1.\\ 0.104,& 1<x\le 2.\\ 0.488,& 2<x\le 3.\\ 1,& x>3.\end{array}$

Пример 2

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна $0.02$. Сделано $500$ выстрелов. Какова вероятность того, что число попаданий в цель будет не меньше $3$ и не больше $5$?

Решение:

Случайная величина $X$ — число попаданий в цель при $500$ выстрелах. $X$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n=500$ и $p=0.02$. Используя приближение Пуассона с параметром $\lambda =np=10$, получим: $𝐏(3\le X\le 5)=𝐏(X=3)+𝐏(X=4)+𝐏(X=5)=\frac{e^{-10}10^3}{3!}+\frac{e^{-10}10^4}{4!}+\frac{e^{-10}10^5}{5!}=0.064$

Пример 3

Цена деления шкалы измерительного прибора равна $0.2$. Показания прибора округляют до ближайшего числа на шкале. Полагая, что ошибка измерения $X$ распределена по равномерному закону, найти дисперсию $𝐃X$.

Решение:

Воспользуемся формулой для вычисления дисперсии равномерно распределенной на отрезке $[a;b]$ случайной величины $X(a=0,b=0.2):𝐃X=\frac{(b-a{)}^2}{12}=\frac{(0.2{)}^2}{12}=\frac{1}{300}$.

Пример 4

Производится взвешивание некоторого вещества. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 5 г

Решение:

Из условия задачи следует, что параметр a нормального закона распределения неизвестен, а $\sigma =20$. Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой $𝐏(|X-a|<\delta )=2\mathrm{\Phi }\left(\frac{\delta }{\sigma }\right)$, где $\delta =5,\sigma =20$.

Получим: $𝐏(|X-a|<5)=2\mathrm{\Phi }\left(\frac{5}{20}\right)=2\mathrm{\Phi }(0.25)=2\cdot 0.0987=0.197$.

Пример 5

Среднее время безотказной работы прибора равно $50$ часам. Полагая, что время безотказной работы распределено по показательному закону, найти вероятность того, что в течение $100$ часов прибор не выйдет из строя.

Решение:

Параметр $\lambda$ можно найти из соотношения $𝐌X=\frac{1}{\lambda }$.

По условию задачи $𝐌X=50$, следовательно, $\lambda =0.02$.

Пусть случайная величина $X$ — время безотказной работы прибора (среднее время между двумя отказами). Тогда искомая вероятность равна $𝐏(X\ge 100)=1-𝐏(X<100)=1-F(100)=e^{-0.02\cdot 100}=0.135$.

Упражнения

<quiz display=simple>

{ Выберите верное соотношение, при котором неотрицательная кусочно-непрерывная функция $f(x)$ является плотностью распределения случайной величины |type="()"} - $F(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\le a,\\ \frac{x-a}{b-a}& x\in [a,b],\\ 0,& x>b;\end{array}$ + $F(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x\le a,\\ \frac{x-a}{b-a}& x\in [a,b],\\ 1,& x>b;\end{array}$ - $F(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x\le a,\\ \frac{x-a}{x-b}& x\in [a,b],\\ 1,& x>b;\end{array}$

{ Чему равняется математическое ожидание для функции распределения $f(x)=\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0.\end{array}$ ? |type="()"} - $𝐌X=\lambda$ - $𝐌X=\frac{1}{{\lambda }^2}$ + $𝐌X=\frac{1}{\lambda }$

{ Каким соотношением связаны функции $\mathrm{\Phi }(x)$ и $F_0(x)$? |type="()"} - $F_0(x)=-0.5+\mathrm{\Phi }(x)$ - $F_0(x)=\frac{1}{2}\mathrm{\Phi }(x)$ + $F_0(x)=0.5+\mathrm{\Phi }(x)$ </quiz>