Теорема Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности

Теорема. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть $\{x_n\}$ ограниченная последовательность. Тогда $\mathrm{\exists }m,M\in R$ : $m\le M$ , $\mathrm{\forall }n\in N$.

Рассмотрим множество таких вещественных чисел $x$, что правее каждого из этих $x$ лежит не более,чем конечное число элементов последовательности $\{x_n\}$. Множество таких $x$ не пусто, т.к. $M\in$ $\{x_n\}$. Кроме того, множество таких элементов ограничено снизу любым числом, меньшим $m$

$\mathrm{\forall }x\in$ $\{x\}$ , $x\ge m$

$\overline{x}=\inf \{x\}$ .

Докажем, что $\overline{x}$ является частичным пределом последовательности $\{x_n\}$. Зададим произвольное $\epsilon >0$ ; $(\overline{x}-\epsilon )$ $\notin \{x\}$ $\Rightarrow$ правее числа $(\overline{x}-\epsilon )$ лежит бесконечно много элементов последовательности $\{x_n\}$. По определению $\inf \mathrm{\exists }x:\overline{x}\le x<\overline{x}+\epsilon$.

По определению множества элементов правее элемента $x$ лежит не более, чем конечное число элементов последовательности, а значит, на полуинтервале ($\overline{x}-\epsilon ;x$] $\mathrm{\exists }$ бесконечно много элементов последовательности.

Тем более в окрестности ($\overline{x}-\epsilon ;\overline{x}+\epsilon$) содержится бесконечно много элементов последовательности. Это означает, что $\overline{x}$ - частичный предел последовательности, т.е. есть подпоследовательность, которая сходится.