Сходимость знакоположительных рядов

Ограниченность частных сумм

Теорема.

Знакоположительный числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность $S_n$ ограничена.

Доказательство.

Если ряд сходится, то последовательность ограничена как сходящаяся подпоследовательность. Обратно, $S_{n+1}-S_n=x_{n+1}\ge 0$, поэтому последовательность $S_n$ не убывает. Тогда ее сходимость следует из ограниченности по теореме Вейерштрасса.