Скалярное произведение векторов/Задачи

Примеры решения задач

Вычисление скалярного произведения

В простейшем случае известны координаты векторов в ортонормированной системе координат. Тогда скалярное произведение вычисляется как сумма произведения одноименных координат.

Смотри также Скалярное произведение векторов

Пример 1

В равностороннем треугольнике $\mathrm{△}ABC$ длины сторон равны 1. Вычислить $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}$.

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}& =|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|\cos (\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}})+|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{CA}|\cos (\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}})+|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|\cos (\widehat{\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AB}})=\\ & =1\cdot 1\cdot \cos \frac{\pi }{3}2+1\cdot 1\cdot \cos \frac{\pi }{3}2+1\cdot 1\cdot \cos \frac{\pi }{3}2=-\frac{3}{2}\end{array}$

Пример 2

Даны два неколлинеарных вектора $𝐚$ и $𝐛$. Найти вектор $𝐱$ компланарный векторам $𝐚$ и $𝐛$ и удовлетворяющий системе уравнений

$\{\begin{array}{c}𝐚\cdot 𝐱=1\\ 𝐛\cdot 𝐱=0\end{array}$

Поскольку векторы $𝐚$ и $𝐛$ неколлинеарны, то они образуют базис на плоскости. Любой компланарный им вектор можно представить в виде

$𝐱=\lambda 𝐚+\mu 𝐛$

Поэтому исходную систему можно переписать в виде

$\{\begin{array}{c}𝐚\cdot (\lambda 𝐚+\mu 𝐛)=1\\ 𝐛\cdot (\lambda 𝐚+\mu 𝐛)=0\end{array}\{\begin{array}{c}\lambda (𝐚\cdot 𝐚)+\mu (𝐚\cdot 𝐛)=1\\ \lambda (𝐛\cdot 𝐚)+\mu (𝐛\cdot 𝐛)=0\end{array}$

Решение этой системы

$\{\begin{array}{c}\lambda =\frac{𝐛\cdot 𝐛}{(𝐚\cdot 𝐚)(𝐛\cdot 𝐛)-(𝐚\cdot 𝐛{)}^2}\\ \mu =\frac{-(𝐚\cdot 𝐛)}{(𝐚\cdot 𝐚)(𝐛\cdot 𝐛)-(𝐚\cdot 𝐛{)}^2}\end{array}$

Таким образом искомый вектор

$𝐱=\frac{(𝐛\cdot 𝐛)𝐚+(𝐚\cdot 𝐛)𝐛}{(𝐚\cdot 𝐚)(𝐛\cdot 𝐛)-(𝐚\cdot 𝐛{)}^2}$

Геометрический смысл скалярного произведения

Длина вектора связана со скалярным произведением формулой $|𝐚|=\sqrt{𝐚\cdot 𝐚}$. Если вектор задан своими координатами $𝐚=\{a_1,a_2,a_3\}$ в ортонормированной системе координат, то $𝐚\cdot 𝐚=a_1^2+a_2^2+a_3^2$.

Таким образом

$|𝐚|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

Смотри также Длина вектора

Во многих случаях необходимо получить единичный вектор $𝐱$, имеющий то же направление, что и заданный ненулевой вектор $𝐚$. Эта задача называется нормализацией вектора. Поскольку искомый вектор имеет то же направление, то $𝐱=k𝐚$.

$|𝐱|=1$
$k|𝐚|=1$
Откуда $k=\frac{1}{|𝐚|}$

Смотри также Нормализация вектора

Угол между ненулевыми векторами связан со скалярным произведением формулой

$\cos (\widehat{𝐚,𝐛})=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐚||𝐛|}$

Если векторы заданы своими координатами $𝐚=\{a_1,a_2,a_3\}$ и $𝐛=\{b_1,b_2,b_3\}$ в ортонормированной системе координат,

$\cos (\widehat{𝐚,𝐛})=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$

Смотри также Найти угол между векторами

Пример 3

Дан параллелограмм $OACB$. Длины его сторон $|OA|=a,|OB|=b$, угол $\mathrm{\angle }AOB=\alpha$. Вычислить длину $d$ диагонали $OC$ параллелограмма и найти косинусы углов между диагональю и сторонами параллелограмма.

Очевидно $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$. Поэтому длина диагонали

$\begin{array}{cc}d& =|\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=\sqrt{(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})}=\\ & =\sqrt{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OB}}=\\ & =\sqrt{|\overrightarrow{OA}|+|\overrightarrow{OB}|+2|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos (\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}})}=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \alpha }\end{array}$

Углы между диагональю и сторонами

$\begin{array}{cc}\cos (\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}})& =\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|}=\frac{\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|}=\frac{|\overrightarrow{OA}{|}^2+\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|}=\frac{a^2+ab\cos \alpha }{a\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \alpha }}=\\ & =\frac{a+b\cos \alpha }{\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \alpha }}\end{array}$

$\begin{array}{cc}\cos (\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}})& =\frac{\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|}=\frac{\overrightarrow{OB}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|}=\frac{\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OA}+|\overrightarrow{OB}{|}^2}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|}=\frac{ab\cos \alpha +b^2}{b\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \alpha }}=\\ & =\frac{a\cos \alpha +b}{\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \alpha }}\end{array}$

Задачи для самостоятельного решения

1. В треугольнике $\mathrm{△}ABC$ проведены медианы $AD,BE,CF$. Вычислить $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{AB}$.
2. Даны три некомпланарных вектора $𝐚$, $𝐛$ и $𝐜$. Найти вектор $𝐱$, удовлетворяющий системе уравнений
   $\{\begin{array}{c}𝐚\cdot 𝐱=1\\ 𝐛\cdot 𝐱=0\\ 𝐜\cdot 𝐱=0\end{array}$
3. Вычислить длину $d$ диагонали $OD$ параллелепипеда и найти косинусы углов, образуемых диагональю $OD$ с рёбрами $OA,OB,OC$, если известны длины его рёбер $|OA|=a$, $|OB|=b$, $|OC|=c$ и углы $\mathrm{\angle }BOC=\alpha$, $\mathrm{\angle }COA=\beta$, $\mathrm{\angle }AOB=\gamma$.