Скалярное произведение векторов

Определение

Пусть $𝐚$ и $𝐛$ — два ненулевых вектора. Если отложить их от одной точки $O$, получится угол между этими векторами (точнее между несущими их полупрямыми, исходящими из точки $O$). Этот угол обозначают $\widehat{𝐚,𝐛}$.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

$𝐚\cdot 𝐛=(𝐚,𝐛)=|𝐚||𝐛|\cos (\widehat{𝐚,𝐛})$

Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и произведение считают равным нулю.

Свойства скалярного произведения:

1. Коммутативность: $𝐚\cdot 𝐛=𝐛\cdot 𝐚$
2. Линейность по первому аргументу: $({𝐚}_1+{𝐚}_2)\cdot 𝐛={𝐚}_1\cdot 𝐛+{𝐚}_2\cdot 𝐛$ и $(\alpha 𝐚)\cdot 𝐛=\alpha (𝐚\cdot 𝐛)$
3. Положительная определенность: $𝐚\cdot 𝐚=|𝐚{|}^2\ge 0$, причем $𝐚\cdot 𝐚=0$ тогда и только тогда, когда $𝐚=\mathrm{𝟎}$

Геометрический смысл скалярного произведения

Связь с проекциями

Алгебраическое значение проекции вектора $𝐚$ на вектор $𝐛$ вдоль прямой, перпендикулярной $𝐛$, очевидно, равно Шаблон:Формула Аналогично Шаблон:Формула Таким образом, скалярное произведение Шаблон:Формула

Связь с длинами

Рассмотрим скалярное произведение вектора на самого себя. Шаблон:Формула

Связь с углами

Рассмотрим скалярное произведение единичных векторов. Поскольку их длины равны 1, то Шаблон:Формула

Скалярное произведение в ортонормированной системе координат

Пусть заданы координаты двух векторов $𝐚=\{a_1,a_2,a_3\}$ и $𝐛=\{b_1,b_2,b_3\}$ в ортонормированной системе координат.

В ортонормированной системе координат ${𝐞}_1\cdot {𝐞}_1={𝐞}_2\cdot {𝐞}_2={𝐞}_3\cdot {𝐞}_3=1$ и ${𝐞}_1\cdot {𝐞}_2={𝐞}_1\cdot {𝐞}_3={𝐞}_2\cdot {𝐞}_3=0$, так как $\cos 0=1,\cos \frac{\pi }{2}=0$. Поэтому Шаблон:Формула

Аксиоматический подход

При аксиоматическом подходе скалярное произведение определяется как некоторая функция, аргументы которой — два вектора, результат — число, не зависящее от системы координат, обладающее свойствами:

• Коммутативность
• Линейность по первому аргументу
• Положительная определенность

Тогда производными понятиями становятся

• Длина вектора — число, вычисляемое по правилу $|𝐚|=\sqrt{𝐚\cdot 𝐚}$
• Угол между ненулевыми векторами — число, косинус которого $\cos (\widehat{𝐚,𝐛})=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐚||𝐛|}$
• Ортогональные (перпендикулярные) векторы — векторы, скалярное произведение которых равно 0.

См. также

Задачи