Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Нормальные системы ЛДУ первого порядка

$\{\begin{array}{c}{y}_{1^{\prime }}(x)=\sum _{j=1}^m{a}_{1j}(x)y_j(x)+f_1(x)\\ y_{2^{\prime }}(x)=\sum _{j=1}^m{a}_{2j}(x)y_j(x)+f_2(x)\\ \dots \\ y_{m^{\prime }}(x)=\sum _{j=1}^m{a}_{mj}(x)y_j(x)+f_m(x)\end{array}$ где, $a_{ij}\in C(a,b)f_i\in C(a,b)$ - известные функции $y_i$ - искомые

$y_1(x_0)=y_{1(0)},y_2(x_0)=y_{2(0)},\dots ,t_m(x_0)=y_{m(0)}$ - начальные условия.

Совокупность системы и начальных условий - задача Коши. В векторной форме: $\overrightarrow{y^{\prime }}(x)=A(x)\cdot \overrightarrow{y}+\overrightarrow{f},\overrightarrow{y}(x_0)=\overrightarrow{y_0}$

Из теории общей теории нормальных систем следует, что задача Коши имеет единственное решение на всем интервале $(a,b)$. Решение нельзя продолжить.

Общее решение неоднородного уравнения

Пусть ${\bar{u}}_1(x),{\bar{u}}_2(x),\dots ,{\bar{u}}_m(x)$ - заданная ФСР однородного уравнения

$L_m[u]=0$. Тогда всякое решение неоднородного уравнения $L_m[u]=f$ имеет вид $u(x)=u_0(x)+\sum _{k=1}^m{c}_k{u}_k(x)$, где $u_0(x)$ - некоторое частное решение неоднородного уравнения $L_m[u]=f$.