Предел последовательности/Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями

1. Сумма сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов исходных последовательностей.

Доказательство .

Пусть $x_n\to a$, $y_n\to b$, $x_n=$ $a+$ ${\alpha }_n$, ${\alpha }_n$ - бесконечно малая последовательность, $y_n=$ $b+{\beta }_n$, ${\beta }_n$ - бесконечно малая последовательность.

$x_n+y_n=$ $(a+b)$ $+$ $({\alpha }_n+{\beta }_n)$

$x_n+y_n\to a+b$

2. Если $x_n\to a$, $y_n\to b$, то $x_n-y_n\to a-b$

3. Если $x_n\to a$, $y_n\to b$, то $x_n\ast y_n\to a\ast b$

Доказательство .

$x_n=$ $a+$ ${\alpha }_n$, ${\alpha }_n$ - бесконечно малая последовательность, $y_n=$ $b+{\beta }_n$, ${\beta }_n$ - бесконечно малая последовательность.

$x_n\ast y_n$ $=$ $(a+{\alpha }_n)$ $\ast$ $(b+{\beta }_n)$ $=$ $a\ast b$ $+$ $a\ast {\beta }_n$ $+$ $b\ast {\alpha }_n$ $+$ ${\alpha }_n\ast {\beta }_n$ $=$ $a\ast b$ $+$ ${\gamma }_n$, где ${\gamma }_n$ $=$ $a\ast {\beta }_n+b\ast {\alpha }_n+{\alpha }_n\ast {\beta }_n$

$x_n\ast y_n\to a\ast b$

Лемма . Если $y_n\to b$ ≠ $0$, то начиная с некоторого номера определена последовательность $1/(y_n)$ которая является ограниченной.

Доказательство .

Положим $\epsilon$ $=$ $\mid b\mid /2$

При $n>N(\epsilon )$ справедливо $\mid y_n-b\mid$ $<$ $\epsilon =$ $\mid b\mid /2$

$\mid b\mid =\mid (b-y_n)+y_n\mid \le \mid b-y_n\mid +\mid y_n\mid <\mid b\mid /2+\mid y_n\mid$ при $n>N(\epsilon )$

$\mid y_n\mid >\mid b\mid /2$ при $n>N(\epsilon )$

$1/\mid y_n\mid <2/\mid b\mid$

4. Если $x_n\to a$, $y_n\to b$ ≠ 0, то $x_n/y_n$ = $a/b$

Доказательство .

В силу леммы начиная с некоторого номера N элементы последовательности $\{1/y_n\}$ ограничена. С этого номера будем рассматривать последовательность $\{\frac{x_n}{y_n}\}$

$\{\frac{x_n}{y_n}\}-a/b=$ $\frac{x_n\ast b-a\ast y_n}{y_n\ast b}$ $=$ $\frac{1}{y_n}$ $\ast (x_n-y_n\ast \frac{a}{b})$

$x_n=a+{\alpha }_n$, ${\alpha }_n$ - бесконечно малая последовательность.

$y_n=b+{\beta }_n$, ${\beta }_n$ - бесконечно малая последовательность.

$x_n-\frac{a}{b}\ast y_n=a+{\alpha }_n-\frac{a}{b}\ast (b+{\beta }_n)=a+{\alpha }_n-a-\frac{a}{b}\ast {\beta }_n$ - бесконечно малая последовательность.

$\frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}$