Предел последовательности/Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса

Теорема. Если $\{x_n\}$ - не убывает и ограничена сверху, то она сходится. Если $\{x_n\}$ - не возрастает и ограничена снизу, то она сходится.

Доказательство. При выполнении условия теоремы последовательность $x_n$ ограничена.

В силу ограниченности $x_n\mathrm{\exists }\underset{n\in N}{\inf }{x}_n=\underset{\_}{x}$, $\mathrm{\exists }\underset{n\in N}{\sup }{x}_n=\overline{x}$

1) Если последовательность не убывает, то $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }=\overline{x}$

2) Если последовательность не возрастает, то $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }=\underset{\_}{x}$

Рассмотрим первый случай.

По определению $\sup$ : $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{x}_N:x_N>\overline{x}-\epsilon ,x_n\le \overline{x}0\le -x_N<\epsilon$

Т.к. $\{x_n\}$ не убывает, то при $n\le N{x}_N\le x_n\le \overline{x}$

$0<\overline{x}-x_n\le \overline{x}-x_n<\epsilon$ при $n\le N$

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N:$ при $n\le N|\overline{x}-x_n|<\epsilon$.

Второй случай рассматривается аналогично.