Предел последовательности/Критерий Коши сходимости последовательности

Из определения сходимости последовательности $\{x_n\}$ к точке a вытекает, что для любого $\epsilon >0$ интервалом длиной 2$\epsilon$ можно накрыть всю эту последовательность, исключением может быть конечное число ее элементов, если середину интервала поместить в точке $a$. Справедливо и обратное : если последовательность $\{x_n\}$ такова, что для любого $\epsilon >0$ можно накрыть всю эту последовательность, исключая может быть конечное число ее элементов, поместив центр интервала в некоторую точку, то она сходится.

Теорема (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность $\{x_n\}$ сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость. Пусть $\{x_n\}$ сходится. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=x$

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N(\epsilon )\mathrm{\forall }n,m>N(\epsilon ):\mid x_n-x_m\mid <\epsilon$

$\mathrm{\forall }p\in N\mid x_{n+p}-x_n\mid \le \mid x_{n+p}-x\mid <2\epsilon ,\mathrm{\forall }n>N(\epsilon )$

Достаточность. Пусть $\{x_n\}$ - фундаментальная последовательность. Докажем, что она ограничена и $\overline{x}=\underset{\_}{x}$.

Так как последовательность фундаментальна, то $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{x}_N$, в $\epsilon$-окрестности которой существуют все элементы после $x_1,x_2,x_3,...,x_{N-1}$.

Предположим, $A=max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|,...,|x_{N-1}|,|x_n-\epsilon |,|x_n+\epsilon |\}$.

В отрезке [A, -A] содержатся все элементы последовательности, т.е. $\{x_n\}$ - ограничена.

Вследствие теоремы Больцано-Вейерштрасса ($\overline{x};\underset{\_}{x}$) < ($x_n-\epsilon ;x_n+\epsilon$).

$0\le \overline{x}-\underset{\_}{x}<2\epsilon$ в силу произвольности $\epsilon$

$\overline{x}-\underset{\_}{x}=0$

$\overline{x}=\underset{\_}{x}$