Понятие вектора/Задачи

Примеры решения задач

Определение равенства векторов

Это класс задач, которые сводятся к вопросу «равны ли данные векторы». Большинство данных задач являются учебными, направленными на закрепление понимания темы. Как правило, на практике такие задачи в чистом виде не встречаются.

Чтобы доказать, что два вектора равны необходимо доказать, что они параллельны, одинаково направленны и их длины равны.

Пример 1

Файл:ParellelogramOPQR.png

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Середины его сторон — точки $O,P,Q,R$.

Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то векторы, лежащие на этих сторонах равны. При этом $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\ne \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$

Поскольку точки $O$ и $Q$ делят стороны $AB$ и $CD$ пополам, то равны длины отрезков $|AO|=|OB|=|CQ|=|QD|$. Также эти отрезки лежат на параллельных прямых. Учитывая направление отрезков можно написать

$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DQ}=\overrightarrow{QC}$

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{QD}=\overrightarrow{CQ}$

Поскольку равны и параллельны отрезки $OB$ и $QD$, a также $BP$ и $RD$, то треугольники $\mathrm{△}OBP$ и $\mathrm{△}QDR$ равны, а стороны $OP$ и $QR$ равны и параллельны. Следовательно $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{RQ}\ne \overrightarrow{PO}=\overrightarrow{QR}$.

Свойства равенства векторов

Это задачи на доказательства каких-либо свойств равенства векторов.

Пример 2

Доказать рефлексивность и симметричность равенства векторов. Рефлексивность. Очевидно, что любой направленный отрезок параллелен самому себе, одинаково направлен и имеет одну длину. Это значит, что он равен самому себе.

Симметричность. Если $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, то направленный отрезок $\overrightarrow{AB}$ параллелен отрезку $\overrightarrow{CD}$, одинаково с ним направлен и имеет такую же длину. Очевидно, что отрезок $\overrightarrow{CD}$ также параллелен отрезку $\overrightarrow{AB}$, одинаково с ним направлен и имеет такую же длину, что равносильно $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$.

Пример 3

Пусть направленные отрезки $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ равны и не лежат на одной прямой.

Доказать, что $ABCD$ — параллелограмм.

В четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны, так как $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Углы $\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }ACD$ по свойству параллельных прямых.

Треугольники $\mathrm{△}ABC=\mathrm{△}ACD$, так как $AB=CD$, $\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }ACD$, сторона $AC$ — общая.

Из равенства треугольников следует, что равны углы $\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }CAD$. По свойству параллельных это значит, что $AD\Vert BC$.

В четырёхугольнике $ABCD$ противоположные стороны параллельны, значит этот четырёхугольник — параллелограмм.

Задачи для самостоятельного решения

Если вы хотите, чтобы ваше решение проверил преподаватель факультета математики, пожалуйста, оформите решение в своём личном пространстве и дайте ссылку на него на странице обсуждения.

Равенство векторов

Файл:BoxABCDABCD.png

Дан параллелепипед $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ и точки $E$, $F$, $G$, $H$, $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, $N$, делящие пополам стороны $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, $A{A}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $D^{\prime }{A}^{\prime }$ соответственно (см. рисунок).

Какие равенства из перечисленных ниже верны?

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$	$\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$	$\overrightarrow{I{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BJ}$	$\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{BJ}$
$\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{LM}$	$\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{M{A}^{\prime }}$	$\overrightarrow{NI}=\overrightarrow{JF}$	$\overrightarrow{K{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DG}$
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$	$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{A^{\prime }L}$	$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{ML}$	$\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$

Свойства равенства векторов

1. Доказать транзитивность равенства векторов.
2. Доказать, что для любых трёх точек $A$, $B$, $C$ существует единственная точка $D$ такая, что $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.
3. Доказать, что если $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, то середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают.