Понятие вектора
Закрепленный вектор
Закрепленный вектор (направленный отрезок) — упорядоченная пара точек. Первая называется началом вектора, вторая концом.
Закрепленный вектор с началом в точке и концом в точке обозначается .
Вектор, у которого начало и конец совпадает, называется нулевым и обозначается .
Длина вектора (модуль или абсолютная величина) — расстояние между его началом и концом, обозначается .
Два закрепленных вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной и той же прямой. Нулевой вектор считается параллельным (а значит, и коллинеарным) любому вектору.
Три закрепленных вектора называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.
Свободный вектор
Закрепленные векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.
Необходимо заметить, что равенство векторов отличается от привычного равенства чисел. Если число равно другому числу, то эти числа совпадают, на самом деле, это одно и то же число. Если закрепленный вектор равен другому вектору, они могут не совпадать. Иногда равенство векторов называют эквиполлентностью[1].
Основные свойства равенства векторов:
- рефлексивность: ;
- симметричность: если , то ;
- транзитивность: если и , то .
Отношение, обладающее данными свойствами, называется отношением эквивалентности.
Таким образом, существует множество несовпадающих закрепленных векторов, которые равны между собой. Во многих задачах безразлично какой из равных векторов рассматривать. В этих случаях говорят о свободном векторе. Под свободным вектором можно понимать любой из равных между собой векторов. Свободный вектор чаще всего обозначаются полужирными строчными латинскими буквами.