Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма

Любой параллелограмм $OACB$ однозначно задается векторами $𝐚=\overrightarrow{OA}$ и $𝐛=\overrightarrow{OB}$. Будем обозначать параллелограмм, определяемый векторами $𝐚$ и $𝐛$, символом $\mathrm{\Pi }(𝐚,𝐛)$

Найдем выражение площади через координаты векторов в ортонормированном базисе. (В произвольном базисе выражения получаются громоздкими и не несут полезной информации.)

Площадь параллелограмма определяется по формуле $S_{\mathrm{\Pi }(𝐚,𝐛)}=|𝐚||𝐛|\sin \phi$, где $\phi$ — угол между векторами. Шаблон:Формула

Пусть координаты векторов $𝐚=\{a_1,a_2\}$ $𝐛=\{b_1,b_2\}$. В ортонормированном базисе Шаблон:Формула Шаблон:Формула

Рассмотрим выражение $S^{\prime }=a_1{b}_2-a_2{b}_1$. Это выражение называют определителем двумерной матрицы и обозначают $\det \left[\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right]=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|=a_1{b}_2-a_2{b}_1$.

В ортонормированной системе координат Шаблон:Формула Шаблон:Формула Шаблон:Формула Шаблон:Формула Шаблон:Формула где $\alpha$ и $\beta$ — углы между первым базисным вектором и векторами $𝐚$ и $𝐛$ соответственно, отсчитываемые в положительном направлении, заданном базисными векторами.

Если $S^{\prime }=0$, то $\beta =\alpha$, векторы $𝐚$ и $𝐛$ коллинеарны.

Если $S^{\prime }>0$, то $\sin (\beta -\alpha )>0$ и угол $\beta -\alpha$ лежит в промежутке $(0,\pi )$. Это означает, что векторы $𝐚$ и $𝐛$ ориентированны положительно относительно базиса.

Аналогично, если $S^{\prime }<0$, то векторы $𝐚$ и $𝐛$ ориентированны отрицательно относительно базиса.

Величина, по модулю совпадающая с площадью параллелограмма, а по знаку — с ориентацией пары векторов, определяющих его, называется ориентированной площадью параллелограмма. В ортонормированной системе координат ориентированная площадь вычисляется как определитель матрицы, по строкам которой расположены векторы, определяющие параллелограмм.