Основы компьютерной графики/§2

2D-Преобразования

Начнем 2D-преобразования, т.е. преобразования на плоскости. допустим у нас есть точка P с координатами x,y P=(x,y,)
у нас есть некий оператор T, который равен $T=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ и наша точка, после воздействия на неё оператором Т перейдет уже в другие координаты $P^{*}=PT$ они будут равны $P^{*}=(ax+yc;bx+dy)=(x^{*},y^{*})$

Рассмотрим некоторые операторы преобразования:

• $T=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ - отразить по оси Х

• $T=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ - Ничего не делать =)))

• $T=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ - масштабирование по Х

• $T=\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 0& 1\end{array}\right)$ - Сдвиг , т.е. $(x,bx+y)$

увы графиков пока не будет, я не могу загрузить картинку что-то мне не позволяет, эх, надеюсь потмо можно будет загрузить и все будет красивее))

теперь возьмём для примера уже не точку, а отрезок $L=\left(\begin{array}{c}{P}_1\\ P_2\end{array}\right)$

Пусть для конкретности $P_1=(1,1)$ $P_2=(2,3)$ тогда $L=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$ и исходя их преобразования для точки, сделаем тоже самое для отрезка. $LT=L^{*}$, где $T=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right)$ Тогда:

$L^{*}=LT=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a{x}_1+c{y}_1& b{x}_1+d{y}_1\\ a{x}_2+c{y}_2& b{x}_2+d{y}_2\end{array}\right)$

Отсюда видно, что это верно для любой точки на плоскости. если мы просчитаем отдельно $P_1$ и $P_2$ то получим такой же результат.

рассмотрим пример: $T=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ $L_1=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$ и $L_2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 2\end{array}\right)$

$L_1^{*}=L_{1}T=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 2& 8\end{array}\right)$

$L_2^{*}=L_{2}T=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 3& 8\end{array}\right)$

Поворот

Теперь рассмотрим Матрицу поворота $T=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)$ Поворот на 90° градусов можно осуществить с помощью такой вот матрицы $T=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ что соответствует $\varphi =\pi /2$

$T_{90}=T_{-90}^T=T_{-90}^{-1}$ → $T_{\varphi }$ - ортогональный оператор

Перейдем к однородным координатам

• $p=(x^{\text{'}},y^{\text{'}},h)$
• $x=x^{\text{'}}/h$
• $y=y^{\text{'}}/h$

$x^{*}=x+m$ и $y^{*}=y+n$ отсюда $\left(\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ n& m& 1\end{array}\right)$ - для переноса

• $T_{m,n}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -n& -m& 1\end{array}\right)$

• $T_{m,n}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ n& m& 1\end{array}\right)$

• $T_{\varphi }=\left(\begin{array}{ccc}\cos \varphi & \sin \varphi & 0\\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

и наконец выведем оператор поворота R для произвольной точки : $R=T{T}_{\varphi }{T}^{-1}$ $R=T{T}_{\varphi }{T}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -n& -m& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ n& m& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\cos \varphi & \sin \varphi & 0\\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\cos \varphi & \sin \varphi & 0\\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0\\ m-m\cos \varphi +n\sin \varphi & n-m\sin \varphi -n\cos \varphi & 1\end{array}\right)$

Преобразование единичного квадрата

Возьмем например квадрат с вершинами A,B,C,D и запишем для него матрицу, возьмем для наглядности числа $\left(\begin{array}{c}A\\ B\\ C\\ D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\\ 1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ и оператор T - матрица преобразования. $T=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ Тогда :

$\left(\begin{array}{c}{A}^{*}\\ B^{*}\\ C^{*}\\ D^{*}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\\ 1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ a& b\\ a+c& b+d\\ c& d\end{array}\right)$

Вообще не трудно догадаться, исходя из координат, что это единичный квадрат, а следовательно его площадь равна единице S=1. Если же мы подействуем на этот квадрат оператором Т, то площадь такого "Квадрата" (скорее уже просто четырехугольника) будет равна $S^{*}=detT\cdot S$

Рассмотрим оператор преобразования, в более широком смысле т.е. $T=\left(\begin{array}{ccc}a& b& p\\ c& d& q\\ m& n& s\end{array}\right)$

Что же мы тут видим вглядывается старая матрица a,b,c,d, эти элементы отвечают все так же за отображение, за масштабирование по оси, за сдвиг... , ничего не поменялось. Теперь рассмотрим дополнительные элементы: m,n - они отвечают за перенос начала координат (m за x, n за y); Элемент s - отвечает за масштабирование, но не так как в прошлом варианте, а сразу по всем координатам. ну и наконец p,q - они впринцыпе отвечают за перспективу, т.ч. в 2D преобразованиях это не очень можно вообразить и объяснить.