Основные понятия вычислительной математики

Пусть $A$ - точное значение некоторой величины. $A_n$ - приближенное. Абсолютная погрешность $\mathrm{\Delta }(A_n)=|A-A_n|$. Относительная погрешность $\delta (A_n)=\frac{\mathrm{\Delta }(A_n)}{|A|}$. Точное значение: $A=A_n\pm \mathrm{\Delta }(A_n)$ $A=(1\pm \delta (A_n))\cdot A_n$. $\bar{\delta }{A}_n$, $\bar{\mathrm{\Delta }}{A}_n$ - границы погрешностей: $|A-A_n|\le \bar{\mathrm{\Delta }}{A}_n$, $\bar{\delta }{A}_n=\frac{\bar{\mathrm{\Delta }}{A}_n}{|A|}$

Корректность задач

Вычислительная задача называется корректной, если выполняется:

1. Её решение $y\in Y\mathrm{\exists }$ при $\mathrm{\forall }$ входных данных $x\in X$
2. Решение единственно
3. Решение устойчиво по отношению к малым возмущениям входных данных

Шаблон:Определение Относительная устойчивость: вместо $\mathrm{\Delta }(x^{*})$ и $\mathrm{\Delta }(Y^{*})$ ставим $\delta (x^{*})$ и $\delta (Y^{*})$ Шаблон:Определение Шаблон:Определение

$\mathrm{\Delta }(Y^{*})\le {\nu }_{\mathrm{\Delta }}\mathrm{\Delta }(X^{*})$, где ${\nu }_{\mathrm{\Delta }}$ - абсолютное число обусловленности. $\delta (Y^{*})\le {\nu }_{\delta }\delta (X^{*})$, где ${\nu }_{\delta }$ - относительное число обусловленности. Если $\nu >10\Rightarrow$ плохо обусловлена.

Обусловленность задачи вычисления значения функции одной переменной:

${\nu }_{\mathrm{\Delta }}\approx |f^{\prime }(x)|{\nu }_{\delta }=\frac{|x|\cdot |f^{\prime }(x)|}{|f(x)|}$

Для интеграла:$I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx{\nu }_{\mathrm{\Delta }}=\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx}$

Для суммы ряда:${\nu }_{\mathrm{\Delta }}=\frac{\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|a_k|}{\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k}$

Корректность алгоритмов

Шаблон:Определение Пункт 2 - это устойчивость по входным данным. Означает то, что результат непрерывным образом зависит от входных данных при условии, что отсутствует вычислительная погрешность. Шаблон:Определение Если алгоритм устойчив по входным данным и вычислительно устойчив, то он называется устойчивым. Шаблон:Определение Если $\delta (y^{*})\le {\nu }_A{\epsilon }_M$, то ${\nu }_A$ - число обусловленности алгоритма. Алгоритм плохо обусловлен, если ${\nu }_A\gg 1$.