Метод конечных разностей

Постановка краевой задачи.

Постановка краевой задачи

Тонкий однородный стержень, на концах электроды, начальная температура $T_0$.

$\frac{\partial U}{\partial t}=-\frac{\partial }{\partial x}(k\frac{\partial U}{\partial x})+qU+f(x,t)(1)$ - одномерное уравнение теплопроводности

$U=U(x,t)$ - характеризует температуру стержня в момент $t$ в точке $x$

$k(x)$ - коэффициент теплопроводности (зависит от ... $k(x)\ge k_0>0$ - из физического смысла материала)

$q(x)$ - коэффициент теплоотдачи

$f(x,t)$ - плотность внешних источников

Стационарное одномерное уравнение теплопроводности:

$-\frac{d}{dx}x(k\frac{\partial U}{\partial x})+qU=f(x),(0<x<l)$.

Граничные условия: $U(0)=U_{0}U(l)=U_1$ - I рода.

Дискретизация

$x_i=0+ih,i=0..N$, шаг $h$ фиксирован

Пусть $k(x)=1$

$U^{″}+qU=f$ - в рассматриваемых точках $x_i,i=\overline{1,N-1}$

$\begin{array}{cc}& \frac{-U_{i+1}-2U_i+U_{i-1}}{h^2}+q{U}_i=f_{i}i=\overline{1,N-1}\\ & U_0=U0U_N=U1\end{array}$ - разностная схема

Используемый метод - метод конечных разностей.

Аппроксимация и сходимость разностной схемы

$\{\begin{array}{c}-U^{″}+qU=f(x)\\ U(a)=U_{a}U(b)=U_b\end{array}q=q(x)\ge 0\mathrm{\forall }x$ - требование разрешимости задачи

$x_i=a+ih$. $U(x_i),y(x_i)$ - точное и приближенное решение задачи. $y_i=y(x_i)=y_i^h$

Разностная схема:

$\begin{array}{ccc}& \frac{-y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}}{h^2}+q_i{y}_i=f_i,& 0<i<N\\ & y_0=U_a{y}_N=U_b\end{array}$ Задача с трехдиагональной разряженной матрицей:

$(2):\{\begin{array}{cc}{y}_0& =U_a\\ -y_0+(2+h^2{q}_1)y_1-y_2& =f_1{h}^2\\ -y_1+(2+h^2{q}_2)y_2-y_3& =f_2{h}^2\\ \dots \\ -y_{N-2}+(2+h^2{q}_{N-1})y_{N-1}-y_N& =f_{N-1}{h}^2\\ y_n& =U_b\end{array}$ - система с диагональным преобладанием

$(3):\{\begin{array}{cc}{b}_0{x}_o+c_0{x}_1& =d_0\\ \dots \\ a_i{x}_{i-1}+b_i{x}_i+c_i{x}_{i+1}& =d_i\\ \dots \\ a_N{x}_{N-1}{b}_N{x}_N& =d_n\end{array}$ - общий вид метода прогонки

для системы $(2)$:

$\{\begin{array}{c}{b}_0=1,c_0=0\\ b_i=2+h^{2}q,i=\overline{1,N-1}{a}_i=-1,c_i=-1\\ a_N=0,b_N=1,c_N>0\end{array}\Rightarrow$ все условия выполнены

По аналогии с дифференциальным оператором введем разностный оператор: $L^h[y{]}_i=\frac{-y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}}{h^2}+q_i{y}_i$

$\{\begin{array}{cc}{L}^h[y{]}_i=f_i& \mathrm{\forall }i=\overline{1,N-1}\\ y_0=U_a{y}_N=U_b\end{array}$

Для сходимости численного метода требуется аппроксимация и устойчивость. Устойчивость будет вытекать из оценки $(4)$