Линейные операции над векторами/Задачи

Примеры решения задач

Пример 1

Векторы $\overrightarrow{AC}=𝐚$ и $\overrightarrow{BD}=𝐛$ являются диагоналями параллелограмма $ABCD$. Выразить векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{DA}$ через векторы $𝐚$ и $𝐛$.

По определению сложения Шаблон:Формула Шаблон:Формула

По свойствам параллелограмма Шаблон:Формула Шаблон:Формула

Тогда Шаблон:Формула Шаблон:Формула

Откуда Шаблон:Формула Шаблон:Формула

По свойствам параллелограмма Шаблон:Формула Шаблон:Формула

Пример 2

В треугольнике $\mathrm{△}ABC$ проведены медианы $AD$, $BE$ и $CF$. Представить векторы $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BE}$ и $\overrightarrow{CF}$ в виде линейных комбинаций векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$.

Найдём вектор $\overrightarrow{BC}$. Шаблон:Формула

Пример 3

Дан тетраэдр $OABC$. Выразить вектор $\overrightarrow{EF}$ через стороны $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OC}$. Точка $E$ -- середина ребра $OA$, $F$ -- середина ребра $BC$.

Найдём вектор $\overrightarrow{CB}$. Шаблон:Формула Очевидно, Шаблон:Формула

Задачи для самостоятельного решения

Если вы хотите, чтобы ваше решение проверил преподаватель факультета математики, пожалуйста, оформите решение в своём личном пространстве и дайте ссылку на него на странице обсуждения.

1. Точки $K$ и $L$ -- середины сторон $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$. Выразить векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{CD}$ через векторы $\overrightarrow{AK}$, $\overrightarrow{AL}$.
2. В трапеции $ABCD$ отношение $\frac{|\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{BC}|}=\lambda$. Обозначив $\overrightarrow{AC}=𝐚$ и $\overrightarrow{BD}=𝐛$, выразить векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{DA}$ через $𝐚$ и $𝐛$.
3. В трапеции $ABCD$ отношение $\frac{|\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{BC}|}=\lambda$. Обозначив $\overrightarrow{AD}=𝐚$ и $\overrightarrow{AB}=𝐛$, выразить векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$ через $𝐚$ и $𝐛$.
4. В треугольнике $\mathrm{△}ABC$ проведены медианы $AD$, $BE$ и $CF$. Найти сумму векторов $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BE}$ и $\overrightarrow{CF}$.
5. В плоскости треугольника $\mathrm{△}ABC$ найти такую точку $M$, что $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\mathrm{𝟎}$.
6. Дан тетраэдр $OABC$. Выразить вектор $\overrightarrow{EF}$ через стороны $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OC}$. Точка $E$ -- середина ребра $OA$, $F$ -- точка пересечения медиан треугольника $\mathrm{△}ABC$.