Комплексный анализ I/Билеты/Свойства голоморфных функций

Теорема. (Лиувилль) $⊐f\in O(ℂ)$ (такие функции называются целыми'') и $\mathrm{\exists }M:|f(z)|<M\mathrm{\forall }z\in ℂ$. Тогда $f(z)\equiv const$.

Доказательство. $f(z)={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{z}^n$, ряд сходится в $ℂ$. Возьмём круг радиусом $R$ с центром в 0, тогда $f\in O(|z|<R)$ (по неравенству Коши) для коэфиициентов степенного ряда $\mathrm{\forall }R\left|C_n\right|\le \frac{M}{R^n}$, так как функция на $ℂ$, а, следовательно, и на нашем круге, ограничена числом $M$. При $n⩾1$ и при $R\to \mathrm{\infty }$ $\frac{M}{R^n}\to 0$, значит, $C_n=0$ при $n⩾1,$и от нашего ряда Тейлора остаётся всего лишь свободный член, то есть константа: $f(z)=C_0$.

Теорема. (о среднем) $f\in O(|z-a|<R)\Rightarrow f(a)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(a+R{e}^{i\phi })d\phi =\frac{1}{\pi R^2}\underset{|z-a|\le R}{\iint }f(x+iy)dxdy$

Доказательство. 1) По интегральной формуле Коши $f(a)=\frac{1}{2\pi i}\underset{|z-a|=R}{\int }\frac{f(z)}{z-a}dz$.

Сделаем замену $z=a+R{e}^{i\phi }$:

$\frac{1}{2\pi i}\underset{|z-a|=R}{\int }\frac{f(z)}{z-a}dz=\frac{1}{2\pi i}{\int }_0^{2\pi }\frac{f(a+R{e}^{i\phi })}{R{e}^{i\phi }}iR{e}^{i\phi }d\phi =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(a+R{e}^{i\phi })d\phi$

2) В интеграле $\frac{1}{\pi R^2}\underset{|z-a|\le R}{\iint }f(x+iy)dxdy$ делаем полярную замену:

$\frac{1}{\pi R^2}\underset{|z-a|\le R}{\iint }f(x+iy)dxdy=\frac{1}{\pi R^2}{\int }_0^R{\int }_0^{2\pi }f(a+R{e}^{i\phi })rdrd\phi$

Из первого пункта получаем, что ${\int }_0^{2\pi }f(a+R{e}^{i\phi })d\phi =2\pi f(a)$

Подставим в наш интеграл:

$\frac{1}{\pi R^2}{\int }_0^{R}2\pi f(a)rdr=\frac{f(a)}{R^2}{\int }_0^{R}2rdr=\frac{f(a)}{R^2}{R}^2=f(a)$

Теорема. (единственности) $⊐D$ область в $ℂ$, $f,g\in O(D),{f|}_E\equiv {g|}_E$, множество $E$ имеет предельную точку в $D$. Тогда ${f|}_D\equiv {g|}_D$.

Доказательство. $a$ предельная точка для $E$, $a\in D,z_k\to a,z_k\in E,h(z)=f(z)-g(z)$

$h(z)=C_0+C_1(z-a)+\cdots$

$h\left(z_k\right)=0\Rightarrow h(a)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }h\left(z_k\right)=0\Rightarrow C_0=0$

$h(z)=C_N(z-a{)}^N+\cdots ,C_N\ne 0,N\ne 0$ ряд Тейлора для $h$ в $u(a)\subset D$ ($u(a)$ открытый шар)

$h(z)=(z-a{)}^N(C_N+C_{N+1}(z-a)+\cdots )=(z-a{)}^N\phi (z)$, где $\phi (z)\in O(u(a))$ (по свойству степенных рядов)

$h\left(z_k\right)=0={(z_k-a)}^N\phi \left(z_k\right)\Rightarrow \phi \left(z_k\right)=0\mathrm{\forall }k$ (так как $z_k\ne a$)$\Rightarrow \phi (a)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\phi \left(z_k\right)=0=C_N$

– противоречие; значит, в ряде Тейлора $h(z)$ нет ненулевых членов, следовательно:

$h{(z)|}_{u(a)}={(f(z)-g(z))|}_{u(a)}\equiv 0\Rightarrow f{(z)|}_{u(a)}\equiv g{(z)|}_{u(a)}$

$\mathrm{\forall }z\in D\mathrm{\exists }$ ломаная $\gamma$ с началом в $a$ и концом в $z$, а также набор кругов ${\{u(a_k,\rho )=u_k\subset D\}}_{k=0}^m,a_0=a$, $a_m=z,a_{k+1}\subset u_k\mathrm{\forall }k=0,\dots ,m-1$ ($\rho$ радиус кругов, $a_k$ центры кругов)

$h{(z)|}_{u_0\in u(a)}\equiv 0,a_1\in u_0\Rightarrow h^{(n)}(a)\equiv 0\mathrm{\forall }n\Rightarrow h{(z)|}_{u_1}\equiv 0$$\Rightarrow \cdots \Rightarrow h{(z)|}_{u_m}\equiv 0\Rightarrow h(z)\equiv 0\Rightarrow$$f(z)\equiv g(z)$

Остался один вопрос: почему существует такая последовательность ${\left\{u_k\right\}}_{k=0}^m$. Докажем её существание. Возьмём $\rho =\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{Z\in \gamma }{w\in \partial D}}{\inf }|z-w|$, и, так как $\gamma \subset D$, то $\rho >0$ и $\mathrm{\forall }z\in \gamma u(z,\rho )\subset D$

${\left\{a_k\right\}}_{k=0}^m$ будем выбирать так: $a_0=a,a_m=z$, а остальные $a_k$ выберем так, чтобы $|a_k-a_{k-1}|<\frac{\rho }{2}\mathrm{\forall }k=1,\dots ,m$. Тогда последовательность ${\left\{u_k\right\}}_{k=0}^m={\left\{u(a_k,\rho )\right\}}_{k=0}^m$ как раз нам подходит, так как $a_{k+1}\subset u_k$ изза неравенства $|a_k-a_{k-1}|<\frac{\rho }{2}$.

Теорема. (принцип максимума модуля): $⊐D$ область в $ℂ$, $f\in O(D).\mathrm{\exists }a\in D|f(a)|=\underset{z\in D}{\max }|f(z)|\Rightarrow f(z)\equiv const$.

Доказательство. Разложим $f(z)$ в ряд Тейлора в $a$: $f(z)=C_0+C_1(z-a)+\cdots$

Рассмотрим два случая:

1) $C_0=f(a)=0\Rightarrow \underset{z\in D}{\max }|f(z)|=|f(a)|=0\Rightarrow f(z)\equiv 0$

2) $C_0=f(a)\ne 0\Rightarrow f(z)=C_0+C_N(z-a{)}^N+(z-a{)}^N(z-a)\phi (z)$, где $C_N$ первый ненулевой коэффициент, а функция $\phi (z)=C_{N+1}+C_{N+2}(z-a)+\cdots \in O(u(a))$; $u(a)$ открытый шар с центром в $a$.

$\mathrm{\exists }\theta \in [0,2\pi )$, то есть $\mathrm{\exists }$ направление $\theta :\mathrm{\forall }r>0\mathrm{\forall }z=a+r{e}^{i\theta }\arg [C_N(z-a{)}^N]=\arg f(z)$

$\mathrm{\exists }{r}_0:\mathrm{\forall }{z}_0=a+r_0{e}^{i\theta }\in u(a)$ и $\left|{(z_0-a)}^{N+1}\phi \left(z_0\right)\right|<\frac{\left|C_N{(z_0-a)}^N\right|}{2}\iff \left|(z_0-a)\phi \left(z_0\right)\right|<\frac{\left|C_N\right|}{2}\iff$

$\iff r_0\left|\phi \left(z_0\right)\right|<\frac{\left|C_N\right|}{2}$ (верно при малых $r_o$)

Если $r_o\to 0$, то $\phi \left(z_0\right)\to \phi (a)\in ℂ\Rightarrow \left|f\left(z_0\right)\right|=$

$=|f(a)+C_N{(z_0-a)}^N+{(z_0-a)}^{N+1}\phi \left(z_0\right)|\ge |f(a)+C_N{(z_0-a)}^N|-\left|{(z_0-a)}^{N+1}\phi \left(z_0\right)\right|=$

$=|f(a)|+\left|C_N{(z_0-a)}^N\right|-\left|{(z_0-a)}^{N+1}\phi \left(z_0\right)\right|>|f(a)|+\left|C_N{(z_0-a)}^N\right|>|f(a)|$

Получили, что найдётся точка, в которой модуль функции больше, чем в точке $a$, противоречие. Значит, что $\mathrm{\forall }N\ge 1$$C_N=0\Rightarrow {f|}_{u(a)}\equiv f(a)\Rightarrow$ по теореме единственности $f\equiv f(a)$

Следствие 1. (локальный принцип максимума модуля) $⊐D$ область в $ℂ$, $f\in O(D),\mathrm{\exists }a\in D\supset u(a)|f(a)|=\underset{z\in u(a)}{\max }|f(z)|\Rightarrow f\equiv const$

Следствие 2. (принцип минимума модуля) $⊐D$ область в $ℂ$, $f\in O(D),\mathrm{\exists }a\in D\supset u(a)|f(a)|=\underset{z\in u(a)}{\min }|f(z)|\ne 0\Rightarrow f\equiv const$

Доказательство. $\begin{array}{c}g(z)=\frac{1}{f(z)}\in O(u(a))\\ |g(a)|=\underset{z\in u(a)}{\max }|g(z)|\Rightarrow g{(z)|}_{u(a)}\equiv \text{ const }\Rightarrow f{(z)|}_{u(a)}\equiv \text{ const }\Rightarrow f{(z)|}_D\equiv \text{ const }\end{array}$(из принципа единственности)

Следствие 3. $⊐D$ ограниченная область в $ℂ$, $f\in O(D)\cap C(\bar{D})\Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{\bar{D}}{\max }|f(z)|=\underset{\partial D}{\max }|f(z)|$.

Следствие 4. (граничная теорема единственности): $⊐D$ ограниченная область в $ℂ$, $f,g\in O(D)\cap C(\bar{D}),{f|}_{\partial D}\equiv {g|}_{\partial D}\Rightarrow {f|}_D\equiv {g|}_D$

Isbur (обсуждение) 00:41, 26 марта 2019 (UTC)