Комплексный анализ I/Билеты/Пространство голоморфных функций

$⊐D$ область в $ℂ$, $O(D)$ линейное пространство голоморфных в $D$ функций. Какая сходимость естественна в пространстве $O(D)$? Обычная равномерная сходимость не годится. Запишем её определение:

$f_n\Rightarrow f$ на $D:\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N=N(\epsilon )\mathrm{\forall }n\ge N\mathrm{\forall }z\in D|f_n(z)-f(z)|<\epsilon$

и поясним, что же не так. Возьмём $D=ℂ$, получим, что $f_n(z)-f(z)$ ограничена в $D$, и, по теореме Лиувилля, $f_n(z)-f(z)\equiv c$, $f_n(z)\equiv f(z)+c\mathrm{\forall }n$. Получается, что наша последовательность состоит из одинаковых функций.

Определение. $⊐f_n,f\in O(D)$

$f_n\rightrightarrows f$ внутри $D$, если $\mathrm{\forall }$ компакта $K\subset D$ $f_n\rightrightarrows f$ на $K$ (просто равномерно сходится на $K$).

Теорема. (Вейерштрасс) $⊐D$ область в $ℂ$, $f_n\in O(D),f_n\rightrightarrows f$ внутри $D\Rightarrow f\in O(D),\mathrm{\forall }n\in N{f}_n^{(k)}\rightrightarrows f^{(k)}$ внутри $D$.

Доказательство. $f_n\in O(D)\Rightarrow f_n\in C(D),f_n\to f$ внутри $D$ $\Rightarrow f\in C(D)\iff \mathrm{\forall }$ круга $\bar{u}\subset Df(z)\in C(\bar{u})$ как равномерный предел непрерывных на компакте функций. По теореме Мореры, $\mathrm{\forall }$ треугольного контура $\mathrm{\Delta }:\mathrm{Int}\mathrm{\Delta }\subset D$ существует интеграл $\underset{\mathrm{\Delta }}{\int }f(z)dz$ ($f(z)\in C(D)$).

$\underset{\mathrm{\Delta }}{\int }f(z)dz=\underset{\mathrm{\Delta }}{\int }(f(z)-f_n(z))dz+\underset{\mathrm{\Delta }}{\int }{f}_n(z)dz$

$\underset{\mathrm{\Delta }}{\int }{f}_n(z)dz=0$, так как $f_n\in O(D)$ и $\mathrm{\Delta }$ замкнутый контур.

$\underset{\mathrm{\Delta }}{\int }(f(z)-f_n(z))dz\le \underset{\mathrm{\Delta }}{\max }|f_n(z)-f(z)||\mathrm{\Delta }|$

$\underset{\mathrm{\Delta }}{\max }|f_n(z)-f(z)|\to 0\text{ (}n\to \mathrm{\infty })$, так как получилось, что $\underset{\mathrm{\Delta }}{\int }f(z)dz=0\Rightarrow f(z)\in O(D)$.

Осталось доказать, что $\mathrm{\forall }K\subset D{f}_n^{(k)}\rightrightarrows f^{(k)}$ на $K$.

Выделяем из бесконечного покрытия конечное: $K\subset {\bigcup }_{j=1}^m{\bar{u}}_j,{\bar{u}}_j$ замкнутый круг, $\overline{u_j}\subset D$ (это возможно, так как $K$ компакт). Окружим замкнутые круги $\overline{u_j}$ окружностями ${\gamma }_j$, чтобы ${\gamma }_j\subset D$. Из теоремы о бесконечной дифференцируемости голоморфной функции:

$f_n^{(k)}-f^{(k)}=\frac{k!}{2\pi i}\underset{{\gamma }_k}{\int }\frac{f_n(\xi )-f(\xi )}{(\xi -z{)}^{k+1}}d\xi \le \frac{k!}{2\pi }\frac{\left|{\gamma }_k\right|\max |f_n(\xi )-f(\xi )|}{r^{k+1}}\to 0$, так как $f_n\Rightarrow f$ на ${\gamma }_k$.

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{N}_j=N_j(\epsilon )\mathrm{\forall }n>N_j\mathrm{\forall }z\in {\bar{u}}_j|f_n^{(k)}(z)-f^{(k)}(z)|<\epsilon$

Положим $N=\underset{j}{\max }{N}_j$; тогда

$\mathrm{\forall }n>N\mathrm{\forall }z\in K|f_n^{(k)}(z)-f^{(k)}(z)|<\epsilon$,

то есть $f_n^{(k)}\rightrightarrows f^{(k)}$ на $K$.

Следствие. $⊐f_n\in O(D);{\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ сходится равномерно внутри области $D$ (то есть $S_n={\sum }_{k=1}^n{f}_k\rightrightarrows$ внутри $D$) $\Rightarrow f(z)={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(z)\in O(D)\mathrm{H}{f}^{(k)}(z)={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n^{(k)}(z)$ ($\mathrm{\forall }k\in N$ сходимость равномерная внутри $D$).

Доказательство. Просто применить теорему Вейерштрасса к $S_n$.

Является ли пространство $O(D)$ со сходимостью, которую мы определили выше, метрическим? То есть, существует ли метрика $\rho$ в пространстве $O(D):\rho (f_n,f)\to 0\iff f_n\rightrightarrows f$ внутри $D$?

'Теорема. ''''' Такая метрика существует:

$\mathrm{\forall }f,g\in O(D)\rho (f,g)={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}\frac{\Vert f-g{\Vert }_{C\left(K_n\right)}}{1+\Vert f-g{\Vert }_{C\left(K_n\right)}}$, ${\left\{K_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ произвольная система компактов, исчерпывающих область $D$.

Эта метрика называется метрикой Фреше''.

Перед доказательством теоремы вспомним одно определение и проведём одно дополнительное рассуждение.

Определение. $\Vert f(z)-g(z){\Vert }_{C(K)}:=\underset{z\in K}{\max }\Vert f(z)-g(z)\Vert$.

Утверждение. $⊐{\left\{K_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ произвольная система компактов, исчерпывающих область $D$. $\mathrm{\exists }{\left\{K_{i_k}\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}:$$K_{i_1}\subseteq K_{i_2}\subseteq \cdots ,{\bigcup }_{i_{k=1}}^{\mathrm{\infty }}{K}_{i_k}=D$.

Доказательство. Нам нужно доказать, что $\rho (f,g)$ удовлетворяет всем аксиомам метрики:

$\begin{array}{c}\text{ a) }\rho (f,g)\ge 0,\rho (f,g)=0\iff f\equiv g\\ \text{ b) }\rho (f,g)=\rho (g,f);\\ \text{ c) }\rho (f,g)\le \rho (f,h)+\rho (g,h)\end{array}$

и, кроме того:

$d)\rho (f_n,f)\to 0\iff f_n\rightrightarrows f$ на $D$

a) очевидно;

b) очевидно;

c) нужно доказать,что $\mathrm{\forall }K\in D\frac{\Vert f-g{\Vert }_{C\left(K_n\right)}}{1+\Vert f-g{\Vert }_{C\left(K_n\right)}}\le \frac{\Vert f-h{\Vert }_{C\left(K_n\right)}}{1+\Vert f-h{\Vert }_{C\left(K_n\right)}}+\frac{\Vert g-h{\Vert }_{C\left(K_n\right)}}{1+\Vert g-h{\Vert }_{C\left(K_n\right)}}$.

Обозначим $a=\Vert f-g{\Vert }_{C\left(K_n\right)},b=\Vert f-h{\Vert }_{C\left(K_n\right)},c=\Vert g-h{\Vert }_{C\left(K_n\right)}$

Мы знаем, что для метрики $\Vert f-g{\Vert }_{C\left(K_n\right)}$ верно, что $\Vert f-g{\Vert }_{C\left(K_n\right)}\le \Vert f-h{\Vert }_{C\left(K_n\right)}+\Vert g-h{\Vert }_{C\left(K_n\right)}$

То есть, нам нужно доказать, что если $a\le b+c$, то $\frac{a}{1+a}\le \frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}$

Иначе, $\phi (x)=\frac{x}{1+x},a\le b+c$, верно ли, что $\phi (a)\le \phi (b)+\phi (c)$?

$\phi (a)\le \phi (b+c)$, так как $\phi (x)$ монотонно убывает и $a⩽b+c$.

$\phi (b+c)⩽\phi (b)+\phi (c)$, так как $\phi (x)$ выпукла вверх: ${\phi }^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{(1+x{)}^2}<0$

d) $\rho (f_n,f)\to 0\iff {\Vert f_n-f\Vert }_{C\left(K_m\right)}\to 0\mathrm{\forall }m\iff {\Vert f_n-f\Vert }_{C(K)}\to 0\mathrm{\forall }K\in D\iff f_n\rightrightarrows f$ $\mathrm{\forall }K\subset D$, то есть, по определению, $f_n\rightrightarrows f$ на $D$.

Замечание. Почему ряд из определения метрики Фреше ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}\frac{\Vert f-g{\Vert }_{C\left(K_n\right)}}{1+\Vert f-g{\Vert }_{C\left(K_n\right)}}$ вообще сходится?

$\Vert f-g{\Vert }_{C\left(K_n\right)}\ge 0\mathrm{\forall }f,g$

$0\le \frac{\Vert f-g{\Vert }_{C\left(K_n\right)}}{1+\Vert f-g{\Vert }_{C\left(K_n\right)}}<1$

Следствие. (из этой теоремы и теоремы Вейерштрасса) $O(D)$ полное метрическое пространство.

Isbur (обсуждение) 16:06, 26 марта 2019 (UTC)