Комплексный анализ I/Билеты/Особые точки

Изолированные особые точки однозначного характера, их классификация в терминах рядов Лорана. Теорема Римана об устранимой особой точке. Теорема Сохоцкого. Бесконечность как изолированная особая точка.

Теорема. (Классификация изолированных особых точек)

Изолированная особая точка называется:

1) Устранимой'', если $\mathrm{\exists }\underset{z\to a}{\lim }f(z)\in ℂ$, либо если $f(z)={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n$

2) Полюсом $N$-го порядка'', если $\mathrm{\exists }\underset{z\to a}{\lim }f(z)\in \mathrm{\infty }$, либо если $f(z)={\sum }_{n=-N}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n$

3) Существенно особой'', если $\mathrm{\exists }\underset{z\to a}{\lim }f(z)$, либо если $f(z)={\sum }_{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n$

Доказательство.

1) $⊐f(z)={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n$. Тогда $\mathrm{\exists }\underset{z\to a}{\lim }f(z)=\underset{z\to a}{\lim }{\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n=C_0\in ℂ$

2) $⊐\mathrm{\exists }\underset{z\to a}{\lim }f(z)\in ℂ$. Тогда $f(z)$ ограничена в некоторой окрестности точки $a:|f(z)|<M$

Пусть в ряде Лорана присутствуют члены с отрицательными степенями $n<0$, тогда, по неравенству Коши, $\left|C_n\right|<\frac{M}{{\rho }^n}=M{\rho }^{-n}$.

Устремим $\rho$ к нулю, тогда $M{\rho }^{-n}\to 0$ (так как $n<0$). Значит, $\left|C_n\right|\to 0$, следовательно,все $C_n=0$ при $n=-1,-2,\dots$

3) $f(z)={\sum }_{n=-N}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n=(z-a{)}^{-N}(C_{-N}+C_{-N+1}(z-a)+\cdots )$, где $C_{-N}\ne 0$. Посчитаем предел

$\underset{z\to a}{\lim }f(z)=\underset{z\to a}{\lim }((z-a{)}^{-N}(C_{-N}+C_{-N+1}(z-a)+\cdots ))=\mathrm{\infty }$

4) $\underset{z\to a}{\lim }f(z)=\mathrm{\infty }\Rightarrow \mathrm{\exists }\dot{u}(a):\mathrm{\forall }z\in \dot{u}(a)\ne 0;g(z)=\frac{1}{f(z)}\in O(\dot{u}(a)),\underset{z\to a}{\lim }g(z)=0$

Для $g(z)$ точка $a$ устранимая $\Rightarrow$ в $\dot{u}(a)g(z)={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{b}_n(z-a{)}^n$, причём $b_0=0$, так как $\underset{z\to a}{\lim }g(z)=0$, то есть $g(z)=b_N(z-a{)}^N+\cdots$, где $b_N\ne 0,N\ne 0$

$g(z)=b_N(z-a{)}^N+\cdots =(z-a{)}^N(b_N+b_{N+1}(z-a)\dots )=(z-a{)}^{N}h(z)$

$h(z)\in O(\dot{u}(a)),h(a)=b_N\ne 0\Rightarrow \mathrm{\exists }W(a)\mathrm{\forall }z\in W(a)h(z)\ne 0$

$f(z)=\frac{1}{(z-a{)}^{N}h(z)}=\frac{1}{(z-a{)}^N}\frac{1}{h(z)}=\frac{1}{(z-a{)}^N}(\frac{1}{b_N}+\cdots )$

Здесь $(\frac{1}{b_N}+\cdots )$ ряд Тейлора для функции $\frac{1}{h(z)}$ в $W(a)$

$\mathrm{\forall }z\in W(a)f(z)={\sum }_{n=-N}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n$

По теореме единственности, для ряда Лорана исходный ряд для функции $f$ тоже начинается с члена со степенью $-N$.

Эквивалентность утверждений в третьем подпункте доказывать не надо, так как мы исчерпали все возможные случаи, кроме $\mathrm{\exists }\underset{z\to a}{\lim }f(z)$ и $f(z)={\sum }_{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n$; значит, эти случаи эквивалентны.

Теорема. (Риман; об особой устранимой точке) $⊐f\in O(0<|z-a|<\epsilon ),a$ – устранимая для $f\iff \mathrm{\exists }\dot{u}(a):f(z)$ ограничена в $\dot{u}(a)$.

Доказательство. $\Rightarrow$) $a$ устранимая для $f\Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{Z\to a}{\lim }f(z)\in ℂ\Rightarrow f$ ограничена в некоторой проколотой окрестности $\dot{u}(a)$

$\Leftarrow$) $f(z)={\sum }_{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n,\left|C_n\right|<\frac{M}{{\rho }^n}$ ($\rho$ такое,что $f$ ограничена в $|z-a|<\rho$)

Если $n<0$ и если $\rho \to 0$, то $\frac{M}{{\rho }^n}\to 0$. Значит, все $C_n$ при $n<0$ равны нулю. Следовательно:

$f(z)={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n$

Замечание. В этой теореме вместо ограниченности $f$ можно разрешить небольшой рост вблизи $a$, главное, чтобы $\underset{|z-a|=\rho }{\max }|f(z)|\rho \to 0$ при $\rho \to 0$.

Теорема. (Сохоцкий) $f(z)\in O(0<|z-a|<\epsilon ),a$ существенно особая для $f(z)\iff \mathrm{\forall }A\in \overline{ℂ},\mathrm{\exists }{z}_n\to a:f\left(z_n\right)\to A$

Доказательство. $\Leftarrow$) $\mathrm{\forall }A\in \overline{ℂ},\mathrm{\exists }{z}_n\to a,:f\left(z_n\right)\to A\Rightarrow \underset{z\to a}{\lim }f(z)\Rightarrow a$ существенно особая для $f(z)$

$\Rightarrow$) 1) $A\in ℂ$

Докажем от противного.

Пусть $\mathrm{\exists }{z}_n\to a,:f\left(z_n\right)\to A\Rightarrow \mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\exists }\epsilon >0\mathrm{\forall }z\in u_{\delta }(a)$

$|f(z)-A|>\epsilon$

Следовательно, $\left|\frac{1}{f(z)-A}\right|<\frac{1}{\epsilon }$ в ${\dot{u}}_{\delta }(a)$, значит, $a$ устранимая для $\frac{1}{f(z)-A}$ (по теореме Римана)

Это означает,что $\mathrm{\exists }\underset{z\to a}{\lim }\frac{1}{f(z)-A}=B\in ℂ\Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{z\to a}{\lim }f(z)=A+\frac{1}{B}\in \bar{C}$

Получаем противоречие с тем,что $a$ существенно особая.

2) $A=\mathrm{\infty }$

Пусть $\mathrm{\exists }{z}_n\to a:f\left(z_n\right)\to \mathrm{\infty }\Rightarrow \mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\exists }M>0\mathrm{\forall }z\in {\dot{u}}_{\delta }(a)|f(z)|<M$

Значит, по теореме Римана, $a$ устранимая для $f(z)$ – противоречие с тем, что $a$ существенно особая.

$\mathrm{\infty }$ как изолированная особая точка

Определение. $\mathrm{\infty }$ изолированная особая точка однозначного характера для $f$, если $f\in O(|z|>R)$ для некоторого $R>0$.

Определение. $\mathrm{\infty }$ называется устранимой (полюсом,существенно особой) для $f(z)$,если 0 является устранимой (полюсом, существенно особой) для $f\left(\frac{1}{z}\right)\in O(0<|z|<\frac{1}{R})$. Так как $f(z)\in O(|z|>R)$, то в этой области $f(z)$ раскладывается в ряд Лорана $f(z)={\sum }_{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n{z}^n$.

$\mathrm{\infty }$ для $f(z)$	$0$ для $f(\frac{1}{z})$	Ряд Лорана для $f(\frac{1}{z})$	Ряд Лорана для $f(z)$
устранимая	устранимая	${\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{C}_{-n}{z}^n$	${\sum }_{n=-\mathrm{\infty }}^0{C}_n{z}^n$
полюс $N$-го порядка	полюс $N$-го порядка	${\sum }_{n=-N}^{+\mathrm{\infty }}{C}_{-n}{z}^n$	${\sum }_{n=-\mathrm{\infty }}^N{C}_n{z}^n$
существенно особая	существенно особая	${\sum }_{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{C}_{-n}{z}^n$	${\sum }_{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n{z}^n$

Isbur (обсуждение) 16:07, 26 марта 2019 (UTC)