Комплексный анализ I/Билеты/Определение интеграла и его свойства

Определение. Путь в $ℂ$: $z(t),t\in [0,1],z\in C[0,1]$.

Определение. Два пути $z_1(t),t\in [{\alpha }_1,{\beta }_1]$ и $z_2(t),t\in [{\alpha }_2,{\beta }_2]$ называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм $\lambda :[{\alpha }_1,{\beta }_1]\leftrightarrow [{\alpha }_2,{\beta }_2]$ такой, что:

$\{\begin{array}{cc}{z}_2(\lambda (t))& =z_1(t)\\ \lambda \left({\alpha }_1\right)& ={\alpha }_2\\ \lambda \left({\beta }_1\right)& ={\beta }_2\end{array}$

Определение. Кривая в $ℂ$ это класс эквивалентных путей (геометрический образ отрезка с выбранным направлением).

Определение. $⊐\gamma \subset ℂ$ кривая, $f:\gamma \to ℂ$. Интегралом по кривой $\gamma$ от функции $f$ называется следующий предел (если он существует):

$\begin{array}{c}\int f(z)dz=\underset{{\delta }_T\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f\left(z\left({\tau }_k\right)\right)(z\left(t_k\right)-z\left(t_{k-1}\right))\\ {\delta }_T=\underset{k}{\max }|t_k-t_{k-1}|,{\tau }_k\in [t_{k-1},t_k](or{\tau }_k\in [t_k,t_{k-1}])\end{array}$

Утверждение. (корректность определения)

Если для пути $z_1(t)$ существует предел $\underset{{\delta }_T\to 0}{\lim }{\sum }_{k=1}^{n}f\left(z_1\left({\tau }_k\right)\right)(z_1\left(t_k\right)-z_1\left(t_{k-1}\right))$, то он существует и для любого другого эквивалентного пути $z_2(t)$, и эти пределы совпадают.

Доказательство. Интегральная сумма для первого пути равна ${\sum }_{k=1}^{n}f\left(z_1\left({\tau }_k\right)\right)(z_1\left(t_k\right)-z_1\left(t_{k-1}\right))$.

Интегральная сумма для второго пути равна ${\sum }_{k=1}^{n}f\left(z_2\left({\sigma }_k\right)\right)(z_2\left(s_k\right)-z_2\left(s_{k-1}\right))$.

По определению эквивалентных путей $\mathrm{\exists }$ гомеоморфизм $\lambda :z_1(\lambda (s))=z_2(s)$. Перепишем вторую интегральную сумму:

${\sum }_{k=1}^{n}f\left(z_2\left({\sigma }_k\right)\right)(z_2\left(s_k\right)-z_2\left(s_{k-1}\right))={\sum }_{k=1}^{n}f\left(z_1\left(\lambda \left({\sigma }_k\right)\right)\right)(z_1\left(\lambda \left(s_k\right)\right)-z_1\left(\lambda \left(s_{k-1}\right)\right))$

Определение. $|\gamma |=\underset{T}{\sup }{\sum }_{k=1}^n|z\left(t_k\right)-z\left(t_{k-1}\right)|$

Теорема. (без доказательства)

Если $\gamma$ спрямляема (то есть $|\gamma |<\mathrm{\infty }$), $f(z)\in C(\gamma )$, то $\mathrm{\exists }$ $\underset{\gamma }{\int }f(z)dz$

Свойства интеграла

1) $\underset{{\gamma }^{-}}{\int }f(z)dz=-\underset{\gamma }{\int }f(z)dz$, где ${\gamma }^{-}$ это $\gamma$ в противоположном направлении

2) $\underset{\gamma }{\int }cf(z)dz=c\underset{\gamma }{\int }f(z)dz\mathrm{\forall }c\in ℂ$

3) $\underset{\gamma }{\int }(f(z)\pm g(z))dz=\underset{\gamma }{\int }f(z)dz\pm \underset{\gamma }{\int }g(z)dz$ (если эти оба интеграла существуют)

4) $\underset{\gamma }{\int }f(z)dz=\underset{\gamma }{\int }(udx-vdy)+i\underset{\gamma }{\int }(udy+vdx)$

Доказательство. $\underset{\gamma }{\int }f(z)dz=\underset{{\delta }_T\to 0}{\lim }{\sum }_{k=1}^{n}f\left(z\left({\tau }_k\right)\right)(z\left(t_k\right)-z\left(t_{k-1}\right))=$

$\begin{array}{c}=\underset{{\delta }_T\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n(u\left(z\left({\tau }_k\right)\right)+iv\left(z\left({\tau }_k\right)\right))([x_k-x_{k-1}]+i[y_k-y_{k-1}])=\\ =\underset{{\delta }_T\to 0}{\lim }(\sum _{k=1}^n[u\left(z\left({\tau }_k\right)\right)(x_k-x_{k-1})-v\left(z\left({\tau }_k\right)\right)(y_k-y_{k-1})]+i\sum _{k=1}^n[u\left(z\left({\tau }_k\right)\right)(y_k-y_{k-1})+\\ +v\left(z\left({\tau }_k\right)\right)(x_k-x_{k-1})])=\underset{\gamma }{\int }(udx-vdy)+i\underset{\gamma }{\int }(udy+vdx)\end{array}$

5) если $\gamma$ спрямляема, то $|\underset{\gamma }{\int }f(z)dz|\le \underset{\gamma }{\int }|f(z)||dz|\le \underset{z\in \gamma }{\sup }|f(z)|*|\gamma |$

Доказательство. $\left|\underset{{\delta }_T\to 0}{\lim }{\sum }_{k=1}^{n}f\left(z\left({\tau }_k\right)\right)(z\left(t_k\right)-z\left(t_{k-1}\right))\right|\le \underset{{\delta }_T\to 0}{\lim }{\sum }_{k=1}^n\left|f\left(z\left({\tau }_k\right)\right)\right|*|z\left(t_k\right)-z\left(t_{k-1}\right)|\le$

$\le \underset{{\delta }_T\to 0}{\lim }{\sum }_{k=1}^n\underset{z\in \gamma }{\sup }|f(z)|*|z\left(t_k\right)-z\left(t_{k-1}\right)|=\underset{z\in \gamma }{\sup }|f(z)|*\underset{{\delta }_T\to 0}{\lim }{\sum }_{k=1}^n|z\left(t_k\right)-z\left(t_{k-1}\right)|=\underset{z\in \gamma }{\sup }|f(z)|*|\gamma |$

6) если $\gamma$ гладкая кривая ($\mathrm{\exists }z(t):z^{\prime }(t)\in C[\alpha ,\beta ]),f\in C(\gamma )$), то $\underset{\gamma }{\int }f(z)dz=(R){\int }_{\alpha }^{\beta }f(z(t))z^{\prime }(t)dt$ (R символизирует, что интеграл римановский).

Доказательство. Запишем интегральные суммы для левого и для правого интегралов:

$\begin{array}{cc}{s}_1& =\sum _{k=1}^{n}f\left(z\left({\tau }_k\right)\right)(z\left(t_k\right)-z\left(t_{k-1}\right))\\ s_2& =\sum _{k=1}^{n}f\left(z\left({\tau }_k\right)\right)z^{\prime }\left({\tau }_k\right)(t_k-t_{k-1})\\ z\left(t_k\right)-z\left(t_{k-1}\right)& =(x\left(t_k\right)-x\left(t_{k-1}\right))+i(y\left(t_k\right)-y\left(t_{k-1}\right))\end{array}$

К функциям $x$ и $y$ применим теорему Лагранжа:

$\begin{array}{c}x\left(t_k\right)-x\left(t_{k-1}\right)=x^{\prime }\left({\theta }_k\right)(t_k-t_{k-1})\\ y\left(t_k\right)-y\left(t_{k-1}\right)=y^{\prime }\left({\sigma }_k\right)(t_k-t_{k-1})\\ z\left(t_k\right)-z\left(t_{k-1}\right)=(t_k-t_{k-1})(x^{\prime }\left({\theta }_k\right)+i{y}^{\prime }\left({\sigma }_k\right))\\ s_1-s_2=\sum _{k=1}^{n}f\left(z\left({\tau }_k\right)\right)(t_k-t_{k-1})[x^{\prime }\left({\theta }_k\right)+i{y}^{\prime }\left({\sigma }_k\right)-x^{\prime }\left({\tau }_k\right)-i{y}^{\prime }\left({\tau }_k\right)]\end{array}$

В силу условия,что $z^{\prime }(t)\in C[\alpha ,\beta ]$, при достаточно малых ${\delta }_T$ выражение в квадратных скобках будет меньше любого положительного $\epsilon$, поэтому при достаточно малых ${\delta }_T$:

$\begin{array}{c}\sum _{k=1}^{n}f\left(z\left({\tau }_k\right)\right)(t_k-t_{k-1})[x^{\prime }\left({\theta }_k\right)+i{y}^{\prime }\left({\sigma }_k\right)-x^{\prime }\left({\tau }_k\right)-i{y}^{\prime }\left({\tau }_k\right)]\le \underset{z\in \gamma }{\max }|f(z)|\sum _{k=1}^n\epsilon (t_k-t_{k-1})=\\ =\underset{z\in Y}{\max }|f(z)|*\epsilon *(\beta -\alpha )\end{array}$

Так как $\epsilon$ может быть сколь угодно малым, то при ${\delta }_T\to 0$ получаем:

$\underset{\gamma }{\int }f(z)dz-(R){\int }_{\alpha }^{\beta }f(z(t))z^{\prime }(t)dt=0$

7) $f_n\rightrightarrows f$ на $\gamma$, $f_n\in C(\gamma ),f\in C(\gamma ),\gamma$ спрямляемая, тогда $\underset{\gamma }{\int }{f}_n(z)dz\to \underset{\gamma }{\int }f(z)dz$

Доказательство. $\underset{\gamma }{\int }{f}_n(z)dz-\underset{\gamma }{\int }f(z)dz=\underset{\gamma }{\int }(f_n(z)-f(z))dz\le \underset{z\in \gamma }{\sup }|f_n(z)-f(z)|*|\gamma |$

$\underset{z\in \gamma }{\sup }|f_n(z)-f(z)|\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$ (по критерию равномерной сходимости), значит, $\underset{\gamma }{\int }{f}_n(z)dz-\underset{\gamma }{\int }f(z)dz\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$, то есть, $\underset{\gamma }{\int }{f}_n(z)dz\to \underset{\gamma }{\int }f(z)dz$

Пример. $\underset{\gamma }{\int }1dz=\underset{{\delta }_T\to 0}{\lim }{\sum }_{k=1}^{n}1(z_k-z_{k-1})=z(\beta )-z(\alpha )=t_n-t_0=b-a$, где a начало $\gamma$, b конец $\gamma$.

Пример. $\underset{\gamma }{\int }zdz,\gamma$ спрямляема, с началом a и концом b.

$\underset{\gamma }{\int }zdz=\underset{{\delta }_T\to 0}{\lim }{\sum }_{k=1}^n{z}_k(z_k-z_{k-1})$

С другой стороны,

$\underset{\gamma }{\int }zdz=\underset{{\delta }_T\to 0}{\lim }{\sum }_{k=1}^n{z}_{k-1}(z_k-z_{k-1})$

Значит,

$\begin{array}{c}\underset{\gamma }{\int }zdz=\underset{{\delta }_T\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{(z_k+z_{k-1})(z_k-z_{k-1})}{2}=\underset{{\delta }_T\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{z_k^2-z_{k-1}^2}{2}=\frac{z_n^2-z_0^2}{2}=\frac{b^2-a^2}{2}\\ \underset{\gamma }{\int }zdz=\frac{b^2-a^2}{2}\end{array}$

Пример. $\underset{|z|=1}{\int }\frac{1}{z}dz$

Параметризуем окружность: $z=e^{it},t\in (0,2\pi )$

По шестому свойству:

$\underset{|z|=1}{\int }\frac{1}{z}dz={\int }_0^{2\pi }{e}^{-it}i{e}^{it}dt={\int }_0^{2\pi }idt=2\pi i$