Комплексный анализ I/Билеты/Интегральная теорема Коши

Определение. Область $E\subset ℂ$ называется односвязной, если $\partial E$ связна.

Теорема. (Коши) $⊐E\subset ℂ$ односвязная область, $f\in O(D)$. Тогда $\mathrm{\forall }\mathrm{\Gamma }\subset D$ – замкнутой спрямляемой кривой – $\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz=0$.

Доказательство. Разобьём доказательство на три части:

1) Лемма Гурса. $\underset{\mathrm{\Delta }}{\int }f(z)dz=0$, где $\mathrm{\Delta }$ треугольный контур в $D$.

2) $\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz=0$, где Г произвольная замкнутая ломаная в $D$

3)$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz=0$, где Г произвольная замкнутая спрямляемая кривая в $D$

1) Пусть $|\underset{\mathrm{\Delta }}{\int }f(z)dz|=M$.

Разобьём наш контур на 4 части,как показано на рисунке:

Тогда $\underset{\mathrm{\Delta }}{\int }f(z)dz={\sum }_{j=1}^4\underset{{\mathrm{\Delta }}_j}{\int }f(z)dz$, так как внутренние перемычки в треугольнике проходятся в противоположных направлениях, следовательно, сумма интегралов по ним равна нулю.

$\underset{\mathrm{\Delta }}{\int }f(z)dz={\sum }_{j=1}^4\underset{{\mathrm{\Delta }}_j}{\int }f(z)dz\Rightarrow \mathrm{\exists }{j}_1:|\underset{{\mathrm{\Delta }}_{j_1}}{\int }f(z)dz|\ge \frac{M}{4}$ (иначе $|{\sum }_{j=1}^4\underset{{\mathrm{\Delta }}_j}{\int }f(z)dz|<M$)

Выбираем ${\mathrm{\Delta }}_{j_1}$ и разбиваем его на 4 части точно так же, как $\mathrm{\Delta }$, и выбираем из этого разбиения такой ${\mathrm{\Delta }}_{j_2}:$ $|\underset{{\mathrm{\Delta }}_{i2}}{\int }f(z)dz|\ge \frac{M}{16}$.

Продолжая процесс, получаем $\mathrm{\Delta }\supset {\mathrm{\Delta }}_{j_1}\supset {\mathrm{\Delta }}_{j_2}\supset \cdots \supset {\mathrm{\Delta }}_{j_n}\supset \cdots$.

Пусть ${\mathrm{\Delta }}_{j_1}={\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_{j_2}={\mathrm{\Delta }}_2$ и так далее. Тогда

$|\underset{{\mathrm{\Delta }}_n}{\int }f(z)dz|\ge \frac{M}{4^n},\left|{\mathrm{\Delta }}_{n+1}\right|=\frac{\left|{\mathrm{\Delta }}_n\right|}{2}$

$\bigcap \overline{\mathrm{Int}{\mathrm{\Delta }}_n}=\left\{z_0\right\}\subset D$: так как у нас последовательность вложенных треугольников, и их периметр стремится к нулю, то в пересечении у них только точка $z_0\in D$.

$f\in O\left(z_0\right)\Rightarrow f(z)=f\left(z_0\right)+f^{\prime }\left(z_0\right)(z-z_0)+o(z-z_0)$ (при $z\to z_0$)

$\frac{M}{4^n}\le |\underset{{\mathrm{\Delta }}_n}{\int }f(z)dz|\le \left|\underset{{\mathrm{\Delta }}_n}{\int }f\left(z_0\right)dz\right|+\left|f^{\prime }\left(z_0\right)\right||\underset{{\mathrm{\Delta }}_n}{\int }zdz-\underset{{\mathrm{\Delta }}_n}{\int }zdz|+\left|\underset{{\mathrm{\Delta }}_n}{\int }o(z-z_0)dz\right|$

Интегралы $\underset{{\mathrm{\Delta }}_n}{\int }f\left(z_0\right)dz,\underset{{\mathrm{\Delta }}_n}{\int }zdz,\underset{{\mathrm{\Delta }}_n}{\int }{z}_{0}dz$ равны нулю.

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{N}_{\epsilon }:\mathrm{\forall }n\ge N_{\epsilon }$

$\left|\underset{{\mathrm{\Delta }}_n}{\int }o(z-z_0)dz\right|\le \underset{{\mathrm{\Delta }}_n}{\int }\epsilon |z-z_0||dz|\le \epsilon \left|{\mathrm{\Delta }}_n\right|\left|{\mathrm{\Delta }}_n\right|=\frac{\epsilon |\mathrm{\Delta }{|}^2}{4^n}$ (по свойству 5)

Мы получили, что $\frac{M}{4^n}\le \frac{\epsilon |\mathrm{\Delta }{|}^2}{4^n}$, значит, $M\le \epsilon |\mathrm{\Delta }{|}^2\mathrm{\forall }n\ge N_{\epsilon }$. Так как $\epsilon$ мы выбирали произвольно, то можно сделать его сколь угодно малым, значит, $M=0$, что и требовалось доказать.

2а) Пусть Г выпуклая замкнутая ломаная:

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz={\sum }_{k=1}^N(\underset{{\mathrm{\Delta }}_{k}inD}{\int }f(z)dz)=0$ (по пункту 1)

2б) Пусть Г произвольная замкнутая ломаная:

Примем без доказательства, что $\mathrm{Int}\mathrm{\Gamma }={\bigcup }_{j=1}^N\mathrm{Int}{\mathrm{\Gamma }}_j$, где ${\mathrm{\Gamma }}_j$ выпуклые замкнутые ломаные. Тогда

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz={\sum }_{j=1}^N\underset{{\mathrm{\Gamma }}_j}{\int }f(z)dz=0$

3) Возьмём открытое множество $u(\mathrm{\Gamma }):\mathrm{\Gamma }\subset u(\mathrm{\Gamma }),\overline{u(\mathrm{\Gamma })}\subset D$. По теореме Кантора, функция, непрерывная на компакте $\overline{u(\mathrm{\Gamma })}$, равномерно непрерывна на нём:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{\delta }_{\epsilon }>0\mathrm{\forall }{z}_1,z_2\in \overline{u(\mathrm{\Gamma })}:|z_1-z_2|<{\delta }_{\epsilon }|f\left(z_1\right)-f\left(z_2\right)|<\epsilon$

Возьмём такую замкнутую ломаную $L$, вписанную в Г, чтобы $L\subset u(\mathrm{\Gamma })$ и чтобы $\mathrm{\forall }{z}_1,z_2\in \breve{w_{k-1}{w}_k}|z_1-z_2|<\epsilon$ ($w_k$ вершины ломаной, $k=1,2,\dots ,n$). Для этого достаточно,чтобы $\mathrm{\forall }k|\breve{w_{k-1}{w}_k}|<\epsilon$.

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz=\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz-\underset{L}{\int }f(z)dz$ (так как $\underset{L}{\int }f(z)dz=0$)

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz={\sum }_{k=1}^n(\underset{\breve{w_{k-1}{w}_k}}{\int }f(z)dz-\underset{[w_{k-1},w_k]}{\int }f(z)dz)=$

$={\sum }_{k=1}^n(\underset{\breve{w_{k-1}{w}_k}}{\int }(f(z)-f\left(w_k\right))dz-\underset{[w_{k-1},w_k]}{\int }(f(z)-f\left(w_k\right))dz)$

Так как $\underset{\breve{w_{k-1}{w}_k}}{\int }f\left(w_k\right)dz=\underset{[w_{k-1},w_k]}{\int }f\left(w_k\right)dz$ и $f\left(w_k\right)=const$

${\sum }_{k=1}^n(\underset{\breve{w_{k-1}{w}_k}}{\int }(f(z)-f\left(w_k\right))dz-\underset{[w_{k-1},w_k]}{\int }(f(z)-f\left(w_k\right))dz)\le$

${\sum }_{k=1}^n(\epsilon \left|\breve{w_{k-1}{w}_k}\right|+\epsilon |w_{k-1}-w_k|)\le 2\epsilon |\mathrm{\Gamma }|\mathrm{\forall }\epsilon ⟹$

$⟹\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz=0$

Isbur (обсуждение) 00:39, 26 марта 2019 (UTC)