Комплексный анализ I/Билеты/Больше про интеграл

Теорема. (о существовании первообразной в односвязной области) $⊐D\subset ℂ$ односвязная область'', $f\in O(D)$''. Тогда $\mathrm{\exists }$ первообразная $F(z)={\int }_a^{z}f(\xi )d\xi +c$, где ${\int }_a^{z}f(\xi )d\xi$ интегал по любой спрямляемой кривой из $D$ с началом в $a$ и концом в $z$.

Доказательство. Интеграл ${\int }_a^{z}f(\xi )d\xi$ не зависит от выбора кривой из $D$ в силу теоремы Коши. Проверим, что $F$ первообразная $f(z)$:

$|\frac{F(z)-F\left(z_0\right)}{z-z_0}-f\left(z_0\right)|=|\frac{\underset{a}{\overset{z}{\int }}f(\xi )d\xi -\underset{a}{\overset{z_0}{\int }}f(\xi )d\xi }{z-z_0}-f\left(z_0\right)|=|\frac{\underset{z_0}{\overset{z}{\int }}f(\xi )d\xi }{z-z_0}-f\left(z_0\right)|=$

$=|\frac{\underset{[2_0,z]}{\int }f(\xi )d\xi }{z-z_0}-f\left(z_0\right)|=|\frac{\underset{[z_0,z]}{\int }f(\xi )d\xi }{z-z_0}-\frac{\underset{[z_0,z]}{\int }f\left(z_0\right)d\xi }{z-z_0}|=\left|\frac{1}{z-z_0}\left(\underset{[z_0,z]}{\int }[f(\xi )-f\left(z_0\right)]d\xi \right)\right|$

$f\in O(D)$, следовательно, $f(\xi )=f\left(z_0\right)+f^{\prime }\left(z_0\right)(\xi -z_0)+o(\xi -z_0)$

$\left|\frac{1}{z-z_0}\left(\underset{[z_0,z]}{\int }[f(\xi )-f\left(z_0\right)]d\xi \right)\right|\le \frac{1}{|z-z_0|}(\left|f^{\prime }\left(z_0\right)\right|{|z-z_0|}^2+\epsilon {|z-z_0|}^2)\to 0$ при $z\to z_0$

Значит, $F^{\prime }(z)=f(z)$.

Задача. По существу ли здесь односвязность? Привести пример неодносвязной области и функции таких, что эта функция голоморфна в этой области, но не имеет в ней первообразной.

Определение. Замыкание$D:\bar{D}=D\cup \partial D$.

Теорема. (общая интегральная теорема Коши, без доказательства) $⊐D\subset ℂ$ односвязная область, $\partial D$ замкнутая спрямляемая кривая, $f\in O(D)\cap C(\bar{D})$. Тогда $\underset{\partial D}{\int }f(z)dz=0$.

Теорема. (Коши для составного контура): $⊐\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_0\cup {\mathrm{\Gamma }}_1\cup \dots \cup {\mathrm{\Gamma }}_n$'',где ${\mathrm{\Gamma }}_0,{\mathrm{\Gamma }}_1,\dots ,{\mathrm{\Gamma }}_n$ жордановы замкнутые кривые, ${\mathrm{\Gamma }}_j\in \mathrm{Int}{\mathrm{\Gamma }}_0\mathrm{\forall }j=1,\dots ,n$, $\overline{\mathrm{Int}{\mathrm{\Gamma }}_j}\cap \overline{\mathrm{Int}{\mathrm{\Gamma }}_k}=\mathrm{\varnothing }\mathrm{\forall }j\ne k,j,k\in \{1,\dots ,n\},f\in O(\mathrm{Int}\mathrm{\Gamma })\cap C(\overline{\mathrm{Int}\mathrm{\Gamma }})$. Тогда $\underset{\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_0\cup {\mathrm{\Gamma }}_1^{-}\cup \dots \cup {\mathrm{\Gamma }}_n^{-}}{\int }f(z)dz=0$

Доказательство.

Соединим ${\mathrm{\Gamma }}_0,{\mathrm{\Gamma }}_1,\dots ,{\mathrm{\Gamma }}_n$ перемычками ${\mathrm{\Delta }}_1,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_n$,чтобы перемычки не пересекались и получилась односвязная область $D^{\prime }=\mathrm{Int}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }({\mathrm{\Delta }}_1\cup \dots \cup {\mathrm{\Delta }}_n)$. ${\mathrm{\Delta }}_j$ ломаная,соединяющая точку на ${\mathrm{\Gamma }}_{j-1}$ с точкой на ${\mathrm{\Gamma }}_j$и ${\mathrm{\Delta }}_j$, вся, кроме концов, лежит в $\mathrm{Int}\mathrm{\Gamma }$. Значит, по предыдущей теореме $\underset{\partial D}{\int }f(z)dz=0=\underset{{\mathrm{\Gamma }}_0}{\int }f(z)dz+\underset{{\mathrm{\Gamma }}_1^{-}}{\int }f(z)dz+\cdots +\underset{{\mathrm{\Gamma }}_n^{-}}{\int }f(z)dz+$интегралы по перемычкам, проходимым и в том, и другом направлении (и, соответственно, сокращающиеся).

$0=\underset{{\mathrm{\Gamma }}_0}{\int }f(z)dz+\underset{{\mathrm{\Gamma }}_1^{-}}{\int }f(z)dz+\cdots +\underset{{\mathrm{\Gamma }}_n^{-}}{\int }f(z)dz=\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz$

Теорема. (интегральная формула Коши) $⊐\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_0\cup {\mathrm{\Gamma }}_1^{-}\cup \dots \cup {\mathrm{\Gamma }}_n^{-}$ составной жорданов спрямляемый контур, $f\in O(\mathrm{Int}\mathrm{\Gamma })\cap C(\overline{\mathrm{Int}\mathrm{\Gamma }}).$ Тогда $\mathrm{\forall }z\in \mathrm{Int}\mathrm{\Gamma }f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi$.

Доказательство. Возьмём фиксированное $z\in \mathrm{Int}\mathrm{\Gamma }z\in \mathrm{Int}\mathrm{\Gamma }$ и кривую $\gamma$:

$\gamma =\{\xi :|\xi -z|<r\},\{|\xi -z|\le r\}\subset \mathrm{Int}\mathrm{\Gamma }$

$\underset{\mathrm{\Gamma }\cup {\gamma }^{-}}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi =0$ (по предыдущей теореме, так как $\frac{f(\xi )}{\xi -z}\in O(\mathrm{Int}(\mathrm{\Gamma }\cup {\gamma }^{-})),f\in O(\overline{\mathrm{Int}\mathrm{\Gamma }})$

$\underset{\mathrm{\Gamma }\cup {\gamma }^{-}}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi =\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi -\int \frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi =0$

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi =\underset{\gamma }{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi$

$\underset{\gamma }{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi -2\pi if(z)=\underset{\gamma }{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi -\underset{y}{\int }\frac{d\xi }{\xi -z}f(z)=\underset{\gamma }{\int }\frac{f(\xi )-f(z)}{\xi -z}d\xi \le \frac{2\pi r\underset{|\xi -z|\pm r}{\max }|f(\xi )-f(z)|}{r}=$

$=2\pi \underset{|\xi -z|=r}{\max }|f(\xi )-f(z)|\to 0\text{, }r\to 0$

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi$

Isbur (обсуждение) 00:39, 26 марта 2019 (UTC)