Задача Коши для уравнения колебаний струны. Формула Даламбера

Струна - это натянутая нить, которая не сопротивляется изгибу. Рассмотрим малые поперечные колебания струны.

$U(x,t)$ - отклонение струны от положения равновесия в точке $x$ в момент времени $t$.

Будем считать, что струна бесконечна в силу того, что колебания малые будем пренебрегать слагаемым $(\frac{\partial U}{\partial x}{)}^2$, $p\ge 2$

$l=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\sqrt{1+(\frac{\partial U}{\partial x}{)}^2}dx\approx x_2-x_1\Rightarrow$ при колебаниях струна не меняет длину относительно положения равновесия $\Rightarrow$ в силу закона Гука натяжение струны не меняется.

$\overrightarrow{T}(x,t)$ - натяжение струны

$|\overrightarrow{T}(x,t)|=T_0=const$

Рассмотрим отрезок $[x,x+\mathrm{\Delta }x]$ Обозначим $\overrightarrow{F}(x,t)$ - плотность внешних сил, которые действуют на струну в точке $x$ в момент времени $t$. Силы действуют $\mathrm{\perp }$ оси $x$

Составим уравнение движения в проекции на ось $U$. Проведем касательную к струне в точке $x$.

$\rho (x)$ - плотность струны в точке $x$

$\rho (x)\mathrm{\Delta }x$ - масса кусочка струны

II закон Ньютона

$\rho (x)\mathrm{\Delta }x\frac{{\partial }^{2}U}{\partial t^2}=T_0\sin (\alpha (x+\mathrm{\Delta }x,t))-T_0\sin (\alpha (x,t))+F(x,t)\mathrm{\Delta }x$

В силу малости колебаний

$\sin \alpha =\frac{\tan \alpha }{\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }}=\frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\sqrt{1+(\frac{\partial U}{\partial x}{)}^2}}\approx \frac{\partial U}{\partial x}$

Переписываем уравнение в виде:

$(1):\rho (x)\frac{{\partial }^{2}U}{\partial t^2}=\frac{T_0}{\mathrm{\Delta }x}[\frac{\partial U}{\partial x}(x+\mathrm{\Delta }x,t)-\frac{\partial U}{\partial x}(x,t)]+f(x,t)$

Переходим к пределу при $\mathrm{\Delta }x\to 0$

$\rho (x)\frac{{\partial }^{2}U}{\partial t^2}=T_0\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+F$ - одномерное волновое уравнение

$(\frac{{\partial }^{2}U}{\partial t^2}=a^2\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+f,a^2=\frac{T_0}{\rho }>0,f=\frac{F}{\rho })$

Из физических соображений следует: чтобы однозначно задать колебания струны надо задать начальное отклонение и скорость.

Формула Даламбера

$\frac{{\partial }^{2}U}{\partial t^2}=a^2\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty },t\ge 0(2)$

$U(x,0)=\varphi (x),\frac{\partial U}{\partial t}(x,0)=\psi (x)(3)(x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }))$

Будем предполагать, что $\varphi (x)$ дважды дифференцируема, $\psi (x)$ - один раз дифференцируема. Уравнение имеет гиперболический тип. Характеристики $x+at=c_1$, $x-at=c_2$.

Замена $\xi =x+at$, $\eta =x-at$. Имеем $\frac{{\partial }^{2}U}{\partial \xi \partial \eta }=0$. Решение: $U=f_1(\xi )+f_2(\eta )$.

$U(x,t)=f_1(x+at)+f_2(x-at)(4)\text{ - общее решение}$

Остается выбрать функции $f_1$ и $f_2$, чтобы удовлетворять начальному условию (3):

$\{\begin{array}{c}{f}_1(x)+f_2(x)=\varphi (x)\\ af{\text{'}}_1(x)-af{\text{'}}_2(x)=\psi (x)\end{array}$

Проинтегрируем 2 уравнение по $x$:

$\{\begin{array}{c}{f}_1(x)-f_2(x)=\frac{1}{a}\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\psi (z)dz+c\text{, где }{x}_0,c\text{ - некие константы}\\ f_1(x)+f_2(x)=\varphi (x)\end{array}$

$f_1(x)=\frac{\varphi (x)}{2}+\frac{1}{2a}\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\psi (z)dz+\frac{c}{2}$

$f_2(x)=\frac{\varphi (x)}{2}-\frac{1}{2a}\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\psi (z)dz-\frac{c}{2}$

В итоге имеем решение

$U(x,t)=\frac{\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\{\underset{x_0}{\overset{x+at}{\int }}\psi (z)dz-\underset{x_0}{\overset{x-at}{\int }}\psi (z)dz\}$

$U(x,t)=\frac{\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\underset{x-at}{\overset{x+at}{\int }}\psi (z)dz(5)\text{ - формула Даламбера}$

Доказана следующая теорема: Шаблон:МатТеорема