Задача Коши

Определения

Задача Коши, $x_0$, $y_0$ - начальные данные:

$\{\begin{array}{cc}\frac{dy}{dx}=f(x,y),& \text{(1)}\\ y(x_0)=y_0;& \text{(2) начальное условие}\end{array}$

Решением задачи Коши является функция, определённая на интервале <a,b>, включающем $x_0$, являющаяся решением уравнения (1) и удовлетворяющая начальному условию (2).

Заметим, что если функция удовлетворяет условию Липшица, то она является равномерно непрерывной на $[a,b]\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta (\epsilon )>0:\mathrm{\forall }{x}^{\prime },x^{″}\in [a,b],|x^{\prime }-x^{″}|<\delta (\epsilon ):|\varphi (x^{\prime })-\varphi (x^{″})|<\epsilon$ (для док-ва замечания надо взять $\delta (\epsilon )=\frac{\epsilon }{L}$)