Вещественные (действительные) числа/Теорема о существовании точной грани непустого ограниченного числового множества

Определение. Если для подмножества $X\in R$ $\mathrm{\exists }$ $b$ : $x\le$ $b$, то множество $X$ называется ограниченным сверху, а число $b$ - числом, ограничивающим сверху множество $X$.

Множество $x\subset R$ ограниченно сверху $\iff$ $\mathrm{\exists }$ $b$ $\in R$ $\mathrm{\forall }x$ $\in X$ : $x\le b$.

Определение. Множество, не являющееся ограниченным сверху множеством, называется неограниченным сверху множеством.

Множество $x\subset R$ не ограниченно сверху $\iff \mathrm{\forall }b\in R\mathrm{\exists }x\in X:x>b$.

Определение. Если для подмножества $X\in R\mathrm{\exists }a:x\ge a$, то множество $X$ называется ограниченным снизу, а число $a$ - числом, ограничивающим снизу множество $X$.

Множество $x\subset R$ ограниченно снизу $\iff \mathrm{\exists }a\in R\mathrm{\forall }x\in X:x\ge a$.

Определение. Множество, не являющееся ограниченным снизу множеством, называется неограниченным снизу множеством.

Множество $x\subset R$ не ограниченно снизу $\iff \mathrm{\forall }a\in R\mathrm{\exists }x\in X:x<a$.

Определение. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным множеством.

Определение. Множество, не являющееся ограниченным, называется не ограниченным множеством.

Определение. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество $X\subset R$, называется его верхней гранью и обозначается через $\sup x$ или $\underset{x\in X}{\sup }x$.

$\beta$ - верхняя грань множества $\iff x\in X:x\le \beta$ и $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }x\in X:x>\beta -\epsilon$.

Определение. Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу множество $X\subset R$, называется его нижней гранью и обозначается через $\inf x$ или $\underset{x\in X}{\inf }x$.

$\alpha$ - нижняя грань множества $\iff x\in X:x\ge \alpha$ и $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }x\in X:x<\alpha +\epsilon$.

Пример. $\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},...,\frac{1}{n},...\}=A$, где $1=\sup A;0=\inf A$.

Теорема. $\mathrm{\forall }$ ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.

Доказательство. Пусть $X$ - ограниченное сверху непустое числовое множество. Обозначим через $Y$ множество всех чисел, ограничивающих сверху множество $X$. Множество $X$ ограничено сверху, поэтому множество $Y$ не пусто. Каждый элемент $y\in Y$ ограничивает сверху множество $X$, т.е. $\mathrm{\forall }x\in X:x\le y$. Элементы $x$ и $y$ являются произвольными элементами соответственно множеств $X$ и $Y$, поэтому, в силу свойства непрерывности действительных чисел, $\mathrm{\exists }\beta :\mathrm{\forall }x\in X$ и $y\in Y$ имеет место неравенство $x\le \beta \le y$.

Выполнение неравенства $x\le \beta$ означает, что число $\beta$ ограничивает сверху множество $X$, а выполнение неравенства $\beta \le y$ для всех $y\in Y$ , т.е. для всех чисел, ограничивающих сверху множество $X$, означает, что число $\beta$ является наименьшим среди всех таких чисел, т.е. верхней гранью множества $X$: $\beta =\sup X$.

$\mathrm{\exists }$-е верхней грани у ограниченного сверху непустого множества доказано.

Если теперь $Y$ - непустое ограниченное снизу числовое множество, то отнесём к множеству $X$ все числа, ограничивающие снизу множество $Y$.

Аналогично рассмотренному случаю верхней грани, легко убеждаемся, что, в силу свойства непрерывности действительных чисел, $\mathrm{\exists }\alpha :\mathrm{\forall }x\in X$ и $y\in Y$ имеет место неравенство $x\le \alpha \le y$.

Это означает, что $\alpha =\inf X.$ Теорема доказана.