Аффинные преобразования

Аффинные преобразования

Под преобразованием понимается отображение множества на себя. Другими словами, преобразование — это правило, в соответствии с которым каждому элементу множества ставится в соответствие элемент этого же множества.

Преобразование плоскости (пространства) называется аффинным, если существуют такие две аффинные системы координат, что координаты любой точки в первой системе координат совпадают с координатами ее образа во второй системе координат.

Аффинное преобразование можно рассматривать как последовательное применение (композицию) двух отображений:

1. Точке ставится в соответствие координаты относительно первой системы координат;
2. Полученным координатам ставится в соответствие точка относительно второй системы координат.

Пусть $f$ — аффинное преобразование. Рассмотрим вектор $\overrightarrow{AB}$ в первой системе координат и $\overrightarrow{f(A)f(B)}$ во второй. Так как координаты вектора определяются как разность координат конца и начала, а координаты точек $A$ и $f(A)$, $B$ и $f(B)$ равны в соответствующих системах координат, то вектор $\overrightarrow{f(A)f(B)}$ имеет те же координаты относительно второй системы координат, что и вектор $\overrightarrow{AB}$ относительно первой.

Таким образом в определении аффинного преобразования можно было рассматривать векторы вместо точек.

Пусть первая система координат задана своим репером $O{𝐞}_1{𝐞}_2{𝐞}_3$. Базисные векторы, отложенные от точки $O$ определяют некоторые точки $M_i$. Тогда, очевидно, вторая система координат определяется репером $O^{\prime }𝐞{\text{'}}_1𝐞{\text{'}}_2𝐞{\text{'}}_3$, где $O^{\prime }=f(O),𝐞{\text{'}}_1=\overrightarrow{O^{\prime }f(M_1)},𝐞{\text{'}}_2=\overrightarrow{O^{\prime }f(M_2)},𝐞{\text{'}}_3=\overrightarrow{O^{\prime }f(M_3)}$.

Преобразование координат точки

Рассмотрим две аффинные системы координат, заданных своими реперами $O{𝐞}_1{𝐞}_2{𝐞}_3$ и $O^{\prime }𝐞{\text{'}}_1𝐞{\text{'}}_2𝐞{\text{'}}_3$. Пусть координаты точки $O^{\prime }$ и базисных векторов второго репера относительно первой системы координат выражаются следующим образом: Шаблон:Формула

Рассмотрим произвольную точку $M$. Пусть ее координаты в первой и второй системах координат $(x,y,z)$ и $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ соответственно. Определим как связаны между собой эти координаты. Очевидно, Шаблон:Формула По определению Шаблон:Формула Шаблон:Формула Шаблон:Формула Тогда $\overrightarrow{OM}=x{𝐞}_1+y{𝐞}_2+z{𝐞}_3=(x_0{𝐞}_1+y_0{𝐞}_2+z_0{𝐞}_3)+(x^{\prime }𝐞{\text{'}}_1+y^{\prime }𝐞{\text{'}}_2+z^{\prime }𝐞{\text{'}}_3)$. Подставим выражение (1), после приведения подобных получим Шаблон:Формула Поскольку вектор $\overrightarrow{OM}$ однозначно представляется как линейная комбинация базисных векторов, то коэффициенты в левой и правой частях равенства должны быть одни и те же, то есть Шаблон:Формула Можно записать эту формулу в матричном виде Шаблон:Формула Аналогично можно вывести обратную формулу Шаблон:Формула Матрица Шаблон:Формула называется матрицей преобразования координат. Формулу (1) можно переписать в виде Шаблон:Формула Поскольку базисные векторы линейно независимы, то матрица преобразования координат должна быть невырожденной (определитель не равен нулю).

Преобразование координат вектора

Пусть дан вектор с координатами относительно первой системы координат $𝐚=\{x,y,z\}$. Если приложить его к точке $O$ этот вектор определит точку $M=(x,y,z)$. Определим координаты преобразованного вектора относительно первой системы координат ${𝐚}^{\prime }=f(𝐚)=\{x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }\}$. В преобразованной системе координат точки $O$ и $M$ имеют координаты Шаблон:Формула Таким образом, координаты вектора $\overrightarrow{OM}$ в преобразованной системе координат Шаблон:Формула

Таким образом, Шаблон:Формула Обратное преобразование Шаблон:Формула

Изометрические преобразования

Аффинное преобразование называется изометрическим, если оно сохраняет расстояния между точками.

Рассмотрим любые три точки $A,B,C$, не лежащие на одной прямой. Пусть точки $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ получены из них при помощи изометрического преобразования. Так как расстояния между точками не изменилось, то $\mathrm{△}ABC=\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ Отсюда следует, что изометрическое преобразование не меняет углы между прямыми.

Преобразование ортогональных систем координат

Преобразование на плоскости

Преобразование в некоторой прямоугольной системе координат, заданное формулами Шаблон:Формула называется скользящей симметрией.

Преобразования в пространстве

Преобразования, заданные формулами Шаблон:Формула называются винтовым вращением, скользящей симметрией и зеркальным вращением соответственно.