Алгебра (8 класс)/Функции y = x^n и её графики

Определение:

Функцию, заданную формулой $y=x^n$, называют степенной функцией с натуральным показателем, где x - независимая переменная, а n - натуральное число.

Например:

$y=x$

$y=x^2$

$y=x^3$

Существуют два случая степенной функции: с чётным показателем и с нечётным показателем.

Определение:

Областью определения любой степенной функции с натуральным показателем является множество всех действительных чисел.

Рассмотрим случай, когда n - чётное число. График выглядит так:

Опишем свойства этой функции:

1. Если x=0, то y=0.

2. Если x≠0, то y>0, т.к. чётная степень как положительного, так и отрицательного числа положительна.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

4. Функция возрастает и убывает на промежутке:

???

5. При любых значения аргумента функция принимает неотрицательные значения. Областью значений является:

$Y=(0,+\mathrm{\infty })$

Рассмотрим случай, когда n - нечётное число (n>1).

График выглядит так:

Опишем свойства этой функции:

1. Если x=0, то y=0. Ноль в любой степени равен нулю.

Если x>0, то y>0.

Если x<0, то y<0.

2. Нечётная степень отрицательного числа отрицательна.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.

4. Функция возрастает на всей области определения, принимая любые значения.

5. Областью значений является: $Y=(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

Показатель степени у обоих выражений одинаковые. Рассмотрим график степенной функции с нечётным показателем:

????

На рисунке изображен график степенной функции с нечётным показателем, функция возрастает на всей области определения. В данном случае при любых значениях аргумента из множества всех действительных чисел, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.