Алгебра (8 класс)/Поле

Поле (Упростить)

Множество $F$ с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения $+$ и умножения $\ast$ ($+:F\times F\to F,\ast :F\times F\to F$, то есть $\mathrm{\forall }a,b\in F(a+b)\in F,a\ast b\in F$) называется полем $⟨F,+,\ast ⟩$, если выполнены следующие аксиомы:

1. Коммутативность сложения: $\mathrm{\forall }a,b\in Fa+b=b+a$.
2. Ассоциативность сложения: $\mathrm{\forall }a,b,c\in F(a+b)+c=a+(b+c)$.
3. Существование нулевого элемента: $\mathrm{\exists }0\in F:\mathrm{\forall }a\in Fa+0=a$.
4. Существование противоположного элемента: $\mathrm{\forall }a\in F\mathrm{\exists }(-a)\in F:a+(-a)=0$.
5. Коммутативность умножения: $\mathrm{\forall }a,b\in Fa\ast b=b\ast a$.
6. Ассоциативность умножения: $\mathrm{\forall }a,b,c\in F(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$.
7. Существование единичного элемента: $\mathrm{\exists }e\in F\setminus \{0\}:\mathrm{\forall }a\in Fa\ast e=a$.
8. Существование обратного элемента для ненулевых элементов: $(\mathrm{\forall }a\in F:a\ne 0)\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in F:a\ast a^{-1}=e$.
9. Дистрибутивность умножения относительно сложения: $\mathrm{\forall }a,b,c\in F(a+b)\ast c=(a\ast c)+(b\ast c)$.

Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению $+$ над $F$; аксиомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению $\ast$ над $F\setminus \{0\}$; аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.

Аксиомы 1—7 и 9 — это определение коммутативного коммутативное кольца с единицей.