Алгебра (8 класс)/Квадратные уравнения. Примеры решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения

Уравнение, $a{x}^2+bx+c=0$,

где $a$ — любое не равное нулю число — называется первым коэффициентом, $b$ — второй коэффициент, $c$ — свободный член ($b$, $c$ — любые числа), x — неизвестное называется квадратным. $a$

Если в уравнении $a=1$. то уравнение называют приведенными

Если коэффициент $a$ отрицателен, то мы можем сделать его положительным, умножив обе части уравнения на — 1. Например, умножив обе части уравнения на —1, получим равносильное ему уравнение. Поэтому в дальнейшем для простоты будем всегда предполагать, что $a>0$.

В частности, b или с, или оба вместе могут быть равны нулю. Тогда уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

$a{x}^2+bx=0,$ если c = 0;

$a{x}^2=c$, если b = 0;

$a{x}^2=0,$ если b = 0 и c = 0.

Решение неполных квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение вида $a{x}^2+bx=0$, надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся $x$ за скобки:

$x(ax+b)=0.$

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

$x=0$ или $ax+b=0$.

Чтобы $ax+b$ было равно нулю, нужно, чтобы

$x=-\frac{b}{a}$

Следовательно, уравнение $a{x}^2+bx=0$ имеет два корня:

$x_1=0$ и $x_2=-\frac{b}{a}$.

Неполные квадратные уравнения вида $a{x}^2+bx=0$ , где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Чтобы решить уравнение вида

$a{x}^2=c$,

делим обе части на $a$

$x^2=\frac{c}{a}$ .

В случае $\frac{c}{a}<0$ уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

В случае $\frac{c}{a}>0$ уравнение будет иметь два противоположных корня:

$x_1=+\sqrt{\frac{c}{a}}$ ,

$x_2=-\sqrt{\frac{c}{a}}$ .

Неполное квадратное уравнение вида $a{x}^2=c$, где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Примеры решения квадратных уравнений

(Старинная индийская задача. Задача Бхаскары)

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны .

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась.

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь

Обезьян там было в роще?

Решение

$x$ - количество обезьян в стае

$(\frac{x}{8}{)}^2$ - обезьян резвились в роще

12 обезьян - криком воздух оглашали

Найти: х=? обезьян

$(\frac{x}{8}{)}^2+12=x$

$\frac{x^2}{64}+12=x$

Умножаем обе части на 64

$x^2+12*64=64x$

$x^2+768=64x$

$x^2-64x+768=0$

$D=(-64{)}^2-4*768=1024$

$\sqrt{1024}=32$

$x_1=(64+32)/2=48$

$x_2=(64-32)/2=16$

Оба значения соответствуют условию

Ответ: в стае, 48 или 16 обезьян