Алгебра и начала анализа

Планируемые курсы:

• Исследование функций с помощью производной

Действительные (вещественные) числа

Целые и рациональные числа

целые числа:0, ±1, ±2, ±3...

рациональные числа т.е числа вида m/n

Уравнения с одним неизвестным

Основная теорема алгебры

Уравнение N-го порядка имеет, по меньшей мере, один корень в поле комплексных чисел. Следствием из данной теоремы является утверждение о том, что уравнение N-го порядка имеет ровно N корней с учётом их кратности.

Линейные уравнения

$ax+b=0,a\ne 0$

Имеют единственный корень $x=-b/a$

Квадратные уравнения

$a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0.$

Корни определяются формулой при $D>0$ $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Корни определяются формулой при $D=0$ $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

Корни определяются формулой при $D<0$ $x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}.$

Есть ещё один способ рещения квадратных уравнений при $a=1$. Для этого используется теорема Виета.

$x^2+px+q=0$

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-p;\\ x_1{x}_2=q;\end{array}$

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1)если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;

2)если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

Часные случаи:

1.$a{x}^2+bx+c=0,c=0.$

$x(ax+b)=0$

$x=0$ или $ax+b=0$

2.$a{x}^2+bx+c=0,b=0.$

$a{x}^2=-c$

$x_{1,2}=\pm \sqrt{-c/a}$

3.$a{x}^2+bx+c=0,b=0,c=0.$

$a{x}^2=0$

$x^2=0$

$x=0$

Биквадратные уравнения

$a{x}^4+b{x}^2+c=0,a\ne 0.$

Подстановкой $y=x^2$ сводятся к квадратному уравнению

$a{y}^2+by+c=0.$

Кубические уравнения

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0,a\ne 0.$ При вещественных коэффициентах a, b, c, d имеют хотя бы один вещественный корень. Для нахождения точных значений корней в радикалах может быть использована формула Кардано. Однако вычисления по этому методу довольно громоздки.

Если уравнение имеет рациональный корень $x_1$, можно подобрать его и далее, разделив левую часть исходного уравнения на двучлен $x-x_1$, свести уравнение к квадратному.

Уравнения высших степеней

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0=0,a_n\ne 0.$

Уравнения 5-го порядка и выше в общем случае неразрешимы в радикалах. Если коэффициенты уравнения целочисленны, то можно попытаться подобрать рациональный корень и понизить степень уравнения. В частности, целые корни, если они есть, являются делителями свободного члена.