Просмотр кода страницы Предел последовательности/Критерий Коши сходимости последовательности

Из определения сходимости последовательности <math>\{{ x_n \}}</math> к точке a вытекает, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> интервалом длиной 2<math>\varepsilon</math> можно накрыть всю эту последовательность, исключением может быть конечное число ее элементов, если середину интервала поместить в точке <math>a</math>. Справедливо и обратное : если последовательность <math>\{{ x_n \}}</math> такова, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> можно накрыть всю эту последовательность, исключая может быть конечное число ее элементов, поместив центр интервала в некоторую точку, то она сходится.

{{Определение | Последовательность  <math>x_{n}</math>  называется '''последовательностью Коши или фундаментальной''', если 

<math>\forall \varepsilon > 0,  \exist N ( \varepsilon ),  \forall n, m > N ( \varepsilon ) : \mid x_n - x_m \mid <\varepsilon  </math> }}

'''Теорема (Критерий Коши).''' Для того, чтобы последовательность <math>\{{ x_n \}}</math> сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной. 

'''''Доказательство:'''''

''Необходимость''. Пусть  <math>\{{ x_n \}}</math> сходится. <math>\lim_{n \to \infty} x_n = x</math>

<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exist N ( \varepsilon ) \forall n, m > N ( \varepsilon ) : \mid x_n - x_m \mid  < \varepsilon </math>

<math>\forall p \in N \mid x_{n+p} - x_n \mid \le \mid x_{n+p} - x \mid < 2\varepsilon,  \forall n > N(\varepsilon)</math> 

''Достаточность''. Пусть  <math>\{{ x_n \}}</math> - фундаментальная последовательность. Докажем, что она ограничена и <math>\bar x = \underline x</math>.

Так как последовательность фундаментальна, то <math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exist x_N</math>, в <math>\varepsilon</math>-окрестности которой существуют все элементы после <math>x_1, x_2, x_3, ..., x_{N-1} </math>.

Предположим, <math>A = max \{{ |x_1|, |x_2|, | x_3|, ..., |x_{N-1}|, |x_n - \varepsilon|, |x_n + \varepsilon| \}}</math>.

В отрезке [A, -A] содержатся все элементы последовательности, т.е. <math>\{{ x_n \}}</math> - ограничена. 

Вследствие теоремы Больцано-Вейерштрасса (<math>\bar x ; \underline x</math>) < (<math>x_n - \varepsilon; x_n + \varepsilon</math>).

<math>0 \le \bar x - \underline x < 2\varepsilon</math> в силу произвольности <math>\varepsilon</math>

<math>\bar x - \underline x = 0</math>

<math>\bar x = \underline x</math>

<!--{{Доказательство|\\<math>(\Rightarrow) :</math> <math>\underset{n \to \infty}{\lim} a_n = a</math> возьмём  <math>\forall \varepsilon > 0 </math> тогда <math>\exists N_0 \left(\frac \varepsilon 2 \right) : \forall n>N_0 \left(\frac \varepsilon 2 \right)  |a_n - a| < \frac \varepsilon2</math>\\
<math>\forall m>N_0 \left(\frac \varepsilon 2 \right)  |a_m - a| < \frac \varepsilon2</math> обозначим <math>N(\varepsilon) = N_0 \left(\frac \varepsilon 2 \right),</math> тогда <math>\forall m,n >  N(\varepsilon) : |a_n-a_m| = |a_n-a+a-a_m| \leqslant |a_n-a|+|a_m-a| < \frac \varepsilon2 + \frac \varepsilon2 =  \varepsilon \Rightarrow \{a_n\}</math> - фундаментальна.\\
<math>(\Leftarrow)</math>\\
1)<math>\{a_n\}</math> - фундаментальна <math>\Rightarrow \{a_n\}</math> - ограниченая <math>\forall \varepsilon >0  \exists N( \varepsilon):</math>\\<math>\forall m,n > N( \varepsilon) |a_n-a_m|< \varepsilon</math>  возьмём <math>\varepsilon =1, m=N(1) + 1 > N(1),</math> тогда <math>\forall n>N(1)  a_{N(1)+1}-1<a_n<a_{N(1)+1}+1.</math>
\\Обозначим <math>S=\max\{a_1,\dots,a_{N(1)+1}\}, s=\min\{a_1,\dots,a_{N(1)+1}\},  \forall n   s \leqslant S \Rightarrow \{a_n\}</math> - ограничена.\\
2) по теореме больцано-вейерштрасса. <math>\{a_n\}</math> - ограниченая <math>\Rightarrow \exists \{a_{n_k}\}</math> - сходящаяся.  обозначим <math>a = \underset{k \to \infty}{\lim}a_{n_k}</math>\\
3) докажем, что  <math>a = \underset{n \to \infty}{\lim}a_n</math> возьмём произвольный <math>\varepsilon >0. \{a_n\}</math> - фундаментальна <math>\Rightarrow \exists N_0\left(\frac \varepsilon2\right): \forall n,m > N_0\left(\frac \varepsilon2\right)  |a_n-a_m| <\frac \varepsilon2</math>\\
<math>\underset{k \to \infty}{\lim}a_{n_k} = a \Rightarrow \exists K\left(\frac \varepsilon2\right):  \forall k>K\left(\frac \varepsilon2\right)  |a_{n_k} -a| <\left(\frac \varepsilon2\right)</math> обозначим <math>N(\varepsilon) = N_0\left(\frac \varepsilon2\right)</math> и выберем <math>K: k>K, n_k>N_0\left(\frac \varepsilon2\right) = N(\varepsilon).</math> тогда <math>\forall n >  N(\varepsilon): |a_n-a_{n_k}+a_{n_k}-a|\leqslant|a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-a|<\frac \varepsilon2+\frac \varepsilon2 = \varepsilon \Rightarrow a = \underset{n \to \infty}{\lim}a_n.</math>
}}-->

[[Категория:Предел последовательности]]