Просмотр кода страницы Алгебра (8 класс)/Квадратные уравнения. Примеры решения квадратных уравнений

===Квадратные уравнения===
Уравнение, <math>ax^2+bx+c=0</math>, 

где <math> a </math> — любое не равное нулю число — называется первым коэффициентом, 
<math> b </math>  — второй коэффициент, <math> c </math> — свободный член (<math> b </math>, <math> c </math>   — любые числа), x  — неизвестное называется  '''квадратным'''.
<math> a </math> 
 
Если в уравнении <math>a=1</math>.
то уравнение называют '''приведенными'''

Если коэффициент <math>a</math> отрицателен, то мы можем сделать его положительным, умножив обе части уравнения на — 1. Например, умножив обе части уравнения  на —1, получим равносильное ему уравнение.  Поэтому в дальнейшем для простоты будем всегда предполагать, что 
<math>a>0</math>.

В частности, b или с, или оба вместе могут быть равны нулю. Тогда уравнение называется '''неполным квадратным уравнением'''.

Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

<math> ax^2 + bx = 0,</math> если   c = 0;

<math> ax^2  =  c</math>, если   b = 0;

<math> ax^2 = 0,</math>	 если   b = 0   и   c = 0.

===Решение неполных квадратных уравнений===

Чтобы решить уравнение вида  
<math>ax^2 + bx = 0</math>,  надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся <math> x </math> за скобки:

<math>x(ax + b) = 0.</math>

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

<math>x = 0 </math>  или   <math>ax + b = 0</math>.

Чтобы  <math>ax + b</math>  было равно нулю, нужно, чтобы

<math>x = -	\frac b a</math>

Следовательно, уравнение  <math>ax^2 + bx = 0</math>  имеет два корня:

<math>x_1 = 0</math>   и   <math>x_2 =-\frac b a</math>.

Неполные квадратные уравнения вида <math> ax^2 + bx = 0</math> ,  где  b ≠ 0,  решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Чтобы решить уравнение вида  

<math>ax^2 = c</math>, 

делим обе части на <math> a </math>

<math> x^2 = 	\frac c a 	</math> .

В  случае <math>\frac c a <0</math> уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

В случае <math>\frac c a > 0</math> уравнение будет иметь два противоположных корня:

<math>x_1 = +\sqrt{\frac {c} a}</math> ,    

<math>x_2 = -\sqrt{\frac {c} a}</math> .

Неполное квадратное уравнение вида  <math>ax^2  = c</math>,  где  c ≠ 0,  либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

===Примеры решения квадратных уравнений===
<center>'''(Старинная индийская задача. Задача Бхаскары)'''</center>

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны .

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась.

Криком радостным двенадцать
 
Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь
 
Обезьян там было в роще?

<center>'''Решение'''</center>

<math>x </math> - количество обезьян в стае

<math>(\frac x 8)^2</math> - обезьян резвились в роще

12 обезьян - криком воздух оглашали

Найти: х=? обезьян

<math>(\frac x 8)^2 +12=x </math> 

<math>\frac {x^2}{64} +12=x </math>       

Умножаем обе части на 64

<math>x^2+12*64 =64x</math> 

<math>x^2+768=64x</math> 

<math>x^2-64x+768=0</math> 

<math>D=(-64)^2-4*768=1024</math>    

<math>\sqrt{1024}=32</math>

<math>x_1=(64+32)/2=48</math> 

<math>x_2=(64-32)/2=16</math> 

Оба значения соответствуют условию

Ответ: в стае, 48 или 16 обезьян