Спектральная теория

Спектр линейного оператора и его свойства

Оператор $A:X\to X$, где $X$ - банахово пространство (комплексное) Рассмотрим $A-\lambda I$, $\lambda \in ℂ$, $\lambda$ - параметр. Шаблон:Определение

Множество всех регулярных значений обозначается $\rho (A)$ и называется резольвентным множеством.

$ℂ\setminus \rho (A)$ - называется спектром оператора $A$ и обозначается $𝐒𝐩(A)$

$(A-\lambda I)x=y$; $\lambda \in \rho (A)\Rightarrow$

$\Rightarrow$ $\{$Решение $\mathrm{\exists }$ для $\mathrm{\forall }y$, решение единственное, непрерывно зависит от данных $\}$ Шаблон:Замечание

Шаблон:Определение $X_{\lambda }$ - собственное подпространство отвечающее собственным значениям $\lambda$

$\{x\in X_{\lambda }|Ax=\lambda x\}\cup \{0\}$

$(A-\lambda I)x=0\Rightarrow$ если $\lambda$ - собственное значение, то $\lambda \in 𝐒𝐩(A)$