Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

$A:L\to L$ (для комплексных пространств). Шаблон:Определение

$A\overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x},A\overrightarrow{x}=\mu \overrightarrow{x}\Rightarrow \overrightarrow{0}=(\lambda -\mu )\overrightarrow{x}\Rightarrow \lambda =\mu$ - каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение.

В пространстве L введём базис:${\overrightarrow{e}}_1,\dots ,{\overrightarrow{e}}_n\overrightarrow{x}=\sum _{i=1}^n{x}_i{\overrightarrow{e}}_i\leftrightarrow X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),$ если$A_e$ -матрица оператора А, то$A_{e}X=\lambda X.$

$\{\begin{array}{c}{a}_{1,1}{x}_1+\dots +a_{1,n}{x}_n=\lambda x_1\\ \dots \\ a_{n,1}{x}_1+\dots +a_{n,n}{x}_n=\lambda x_n\end{array}\to \{\begin{array}{c}(a_{1,1}-\lambda )x_1+a_{1,2}{x}_2+\dots +a_{1,n}{x}_n=0\\ \dots \\ a_{n,1}{x}_1+a_{n,2}{x}_2+\dots +(a_{n,n}-\lambda )x_n=0\end{array}$

$\left|\begin{array}{ccc}(a_{1,1}-\lambda )& \dots & a_{1,n}\\ \dots \\ a_{n,1}& \dots & (a_{n,n}-\lambda )\end{array}\right|=F_A(\lambda )=(-1{)}^n{\lambda }^n+\dots$

$F_A(\lambda )=det(A_e-\lambda E)$- характеристический многочлен оператора А.

Условие наличия собственных векторов: $F_A(\lambda )=0$ - хар-е ур-е (${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ - корни ур-я, подставляем в систему и находим собственные векторы.)

Свойства собственных векторов

1. $\overrightarrow{x}$ - собственный вектор оператора А. после умножения его на любое число не равное нулю, снова получится собственный вектор.
2. если ${\overrightarrow{x}}_1$ и ${\overrightarrow{x}}_2$ - два собственных вектора соответствующих собственному значению $\lambda$, то любая их линейная комбинация $\alpha {\overrightarrow{x}}_1+\beta {\overrightarrow{x}}_2=\overrightarrow{0}$- будет снова собственным вектором.
3. если${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ - характерестические корни, причём ${\lambda }_i={\lambda }_j$ при $i=j$, каждому соответствует собственный вектор ${\lambda }_1\to {\overrightarrow{x}}_1,{\lambda }_2\to {\overrightarrow{x}}_2,\dots$, то система ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_k$ линейно независима.