Смешанное произведение

Смешанное произведение

Определение

Смешанным произведением трех векторов $𝐚$, $𝐛$ и $𝐜$ называется число $𝐚𝐛𝐜=(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜$.

Свойства векторного произведения

• Векторы $𝐚$, $𝐛$ и $𝐜$ компланарны тогда и только тогда, когда $𝐚𝐛𝐜=0$.
• Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
• Кососимметричность по любой паре аргументов: $𝐚𝐛𝐜=𝐛𝐜𝐚=𝐜𝐚𝐛=-𝐛𝐚𝐜=-𝐜𝐛𝐚=-𝐚𝐜𝐛$

  $(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜=𝐚𝐛𝐜=𝐛𝐜𝐚=(𝐛\times 𝐜)\cdot 𝐚=𝐚\cdot (𝐛\times 𝐜)$

• Линейность по каждому аргументу:

  $({𝐚}_1+{𝐚}_2)𝐛𝐜={𝐚}_1𝐛𝐜+{𝐚}_2𝐛𝐜(k𝐚)𝐛𝐜=k(𝐚𝐛𝐜)$

  $𝐚({𝐛}_1+{𝐛}_2)𝐜=𝐚{𝐛}_1𝐜+𝐚{𝐛}_2𝐜𝐚(k𝐛)𝐜=k(𝐚𝐛𝐜)$

  $𝐚𝐛({𝐜}_1+{𝐜}_2)=𝐚𝐛{𝐜}_1+𝐚𝐛{𝐜}_2𝐚𝐛(k𝐜)=k(𝐚𝐛𝐜)$

Смешанное произведение в ортонормированной системе координат

Пусть заданы координаты трех векторов $𝐚=\{a_1,a_2,a_3\}$, $𝐛=\{b_1,b_2,b_3\}$ и $𝐜=\{c_1,c_2,c_3\}$ в ортонормированной системе координат. Шаблон:Формула

Таким образом, в ортонормированной системе координат смешанное произведение записывается в виде Шаблон:Формула