Системы координат/Задачи

Примеры решения задач

Определение координат вектора или точки относительно заданного базиса

Данная задача равносильна задаче выразить неизвестные вектора через векторы базиса.

Смотри также Нахождение вектора по двум точкам

Пример 1

В трапеции $ABCD$ отношение $\frac{|\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{BC}|}=\lambda$. В базисе ${𝐞}_1=\overrightarrow{AB},{𝐞}_2=\overrightarrow{AD}$

• определить координаты вектора $\overrightarrow{CD}$;
• определить координаты точки $C$;
• найти координаты вектора $\overrightarrow{BH}$, если координаты точки $H=(2,3)$

Координаты вектора $\overrightarrow{CD}$:

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{CD}& =\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\frac{1}{\lambda }\overrightarrow{AD}=\\ & =\{0,1\}-\{1,0\}-\{0,\frac{1}{\lambda }\}=\{0-1,1-\frac{1}{\lambda }\}=\{-1,\frac{\lambda -1}{\lambda }\}\end{array}$

Координаты точки $C$, очевидно, совпадают с координатами вектора $\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{\lambda }\overrightarrow{AD}={𝐞}_1+\frac{1}{\lambda }{𝐞}_2$

Таким образом, $C=(1,\frac{1}{\lambda })$.

Координаты вектора $\overrightarrow{BH}$ находятся из следующего соображения. Очевидно, $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AB}$. Значит, координаты вектора относительно базиса $\overrightarrow{BH}=\{2-1,3-0\}=\{1,3\}$

Связь между системами координат

Рассмотрим ортогональную и полярную системы координат.

Как видно из рисунка, координаты произвольной точки в этих системах связаны соотношением

$\{\begin{array}{c}x=r\cos \phi \\ y=r\sin \phi \end{array}$

$\{\begin{array}{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\phi =\frac{x}{y}\\ r^2=x^2+y^2\end{array}$

Линейные операции над векторами, заданными своими координатами

Смотри также Умножение вектора на число

Пример 2

В некоторой аффинной системе координат заданы векторы $𝐚=\{1,2,5\},𝐛=\{2,5,2\},𝐜=\{4,0,2\},𝐝=\{5,6,2\}$. Вычислить

• $𝐚+2𝐛$
• $4𝐛+\frac{1}{2}𝐜-2𝐝$
• $2𝐚-5𝐛-3𝐜+4𝐝$

• $𝐚+2𝐛=\{1+2\cdot 2,2+2\cdot 5,5+2\cdot 2\}=\{5,12,9\}$
• $4𝐛+\frac{1}{2}𝐜-2𝐝=\{4\cdot 2+\frac{1}{2}\cdot 4-2\cdot 5,4\cdot 5+\frac{1}{2}\cdot 0-2\cdot 6,4\cdot 2+\frac{1}{2}\cdot 2-2\cdot 2\}=\{0,8,5\}$
• $2𝐚-5𝐛-3𝐜+4𝐝=\{2\cdot 1-5\cdot 2-3\cdot 4+4\cdot 5,2\cdot 2-5\cdot 5-3\cdot 0+4\cdot 6,2\cdot 5-5\cdot 2-3\cdot 2+4\cdot 2\}=\{0,3,2\}$

Пример 3

Даны векторы $𝐚=\{1,2,2\},𝐛=\{-2,4,2\},𝐜=\{6,0,3\}$. Определить являются ли эти векторы линейно зависимыми.

Если векторы линейно зависимы, то существуют такие числа ${\alpha }_i$, что

${\alpha }_1𝐚+{\alpha }_2𝐛+{\alpha }_3𝐜=\mathrm{𝟎}$

Обозначим $\beta =\frac{{\alpha }_2}{{\alpha }_1}$ и $\gamma =\frac{{\alpha }_3}{{\alpha }_1}$.

$𝐚+\beta 𝐛+\gamma 𝐜=\mathrm{𝟎}$

$\{1-2\beta +6\gamma ,2+4\beta ,2+2\beta +3\gamma \}=\{0,0,0\}$

что равносильно системе уравнений

$\{\begin{array}{c}1-2\beta +6\gamma =0\\ 2+4\beta =0\\ 2+2\beta +3\gamma =0\end{array}$

Из второго уравнения $\beta =-\frac{1}{2}$. Тогда из первого уравнения $\gamma =-\frac{1}{3}$, а из третьего $\gamma =-\frac{1}{3}$. Поскольку оба уравнения привели к одинаковому результату, система векторов линейно зависима.

Проекции

В ортонормированной системе координат даны два вектора $𝐚=\{2,5,14\}$ и $𝐛=\{14,5,2\}$. Найти проекцию вектора $𝐚$ на плоскость $Oxy$ вдоль направления вектора $𝐛$.

Обозначим искомый вектор $𝐜$. Поскольку он лежит в плоскости $Oxy$, известна одна его координата $𝐜=\{c_x,c_y,0\}$.

Проектирование вектора равносильно разложению его на сумму

$𝐚=𝐜+\lambda 𝐛$
$\{2,5,14\}=\{c_x,c_y,0\}+\lambda \{14,5,2\}$
$\{\begin{array}{c}{c}_x+14\lambda =2\\ c_y+5\lambda =5\\ 2\lambda =14\end{array}$
Решением этой системы, очевидно, является $\{\begin{array}{c}{c}_x=-98\\ c_y=-30\\ \lambda =7\end{array}$
Таким образом, $𝐜=\{-98,-30,0\}$.

Задачи для самостоятельного решения

Если вы хотите, чтобы ваше решение проверил преподаватель факультета математики, пожалуйста, оформите решение в своём личном пространстве и дайте ссылку на него на странице обсуждения.

1. Основание прямой призмы $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ — прямоугольная трапеция $ABCD$, у которой известно отношение оснований $\frac{AD}{BC}=\lambda$, $\mathrm{\angle }D$ — прямой. $BH$ — высота трапеции. Точка $K$ — середина стороны $D{D}^{\prime }$. Точка $M$ — середина стороны $C^{\prime }{D}^{\prime }$.
   В базисе ${𝐞}_1=\overrightarrow{AD},{𝐞}_2=\overrightarrow{AB},{𝐞}_3=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$
   • определить координаты точек $B^{\prime },D^{\prime },H,M$;
   • определить координаты векторов $\overrightarrow{H{C}^{\prime }},\overrightarrow{BM},\overrightarrow{HM},\overrightarrow{CK}$.
2. Найти связь между прямоугольной, цилиндрической и сферической системами координат.
3. Вычислить для векторов $𝐚=\{6,5,9\},𝐛=\{3,8,1\},𝐜=\{6,9,3\},𝐝=\{0,5,7\}$
   • $4𝐚+\frac{2}{3}𝐜$
   • $2𝐚-2𝐛+3𝐝$
   • $𝐛+4𝐜-6𝐝$
   • $5𝐚-𝐛+\frac{1}{3}𝐜-3𝐝$
4. Определить являются ли эти линейно зависимыми следующие тройки векторов.
   • $𝐚=\{6,4,2\},𝐛=\{-9,6,3\},𝐜=\{-3,6,3\}$
   • $𝐚=\{6,-18,12\},𝐛=\{-8,24,-16\},𝐜=\{8,7,3\}$
5. В ортонормированной системе координат даны два вектора $𝐚=\{7,5,1\}$ и $𝐛=\{4,6,5\}$. Найти проекцию вектора $𝐚$ на плоскость $Oxz$ вдоль направления вектора $𝐛$.