Системы координат

Базис

Базисом в пространстве (на плоскости) называется тройка (пара) линейно независимых векторов.

Координаты

Координатами вектора $𝐚$ относительно базиса ${𝐞}_1,{𝐞}_2,{𝐞}_3$ называются такие числа ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$, что $𝐚={\alpha }_1{𝐞}_1+{\alpha }_2{𝐞}_2+{\alpha }_3{𝐞}_3$.

Координатами точки называется набор чисел, однозначно определяющий эту точку. На плоскости для однозначного задания точки достаточно двух чисел, в пространстве — трех. Под системой координат понимают правило, ставящее в соответствие каждой точке пространства определенный набор координат.

Выделяют следующие важные системы координат:

• Аффинная. Если в пространстве выбран репер (произвольная точка $O$ и базис ${𝐞}_1,{𝐞}_2,{𝐞}_3$), то говорят, что задана аффинная система координат. Координатами точки $A$ относительно этой системы координат называются координаты вектора $\overrightarrow{OA}$ относительно базиса ${𝐞}_1,{𝐞}_2,{𝐞}_3$.
  • Прямоугольная (ортогональная). Аффинную систему координат называют ортогональной, если векторы базиса перпендикулярны друг другу.
  • Ортонормированная. Аффинную систему координат называют ортонормированной, если система ортогональна и длины векторов равны единице.

На плоскости аффинная система координат задается аналогично, только базис является двухэлементным.

Цилиндрическая система координат

Сферическая система координат

• Полярная. Полярная система координат на плоскости задается точкой, называемой полюсом, и исходящем из полюса лучом, называемым полярной осью. Координатами точки $A$ называются длина вектора $r=|\overrightarrow{OA}|$ и угол $\phi$ между полярной осью и вектором $\overrightarrow{OA}$. Расстояние $r$ называют радиусом, а угол $\phi$ полярным углом. У полюса $r=0$, а $\phi$ не определен. У остальных точек полярный угол определен с точностью до слагаемого кратного $2\pi$. Это значит, что пары чисел $(r,\phi )$ и $(r,\phi +2k\pi )$, где $k$ — любое целое число, представляют координаты одной и той же точки. В пространстве полярная система обобщается двумя способами. В обоих случаях дополнительно задается единичный вектор $𝐧$, перпендикулярный полярной оси. Рассматривается точка $A^{\prime }$ — проекция точки $A$ на плоскость $\pi$, проведенную через точку $O$ перпендикулярно вектору $𝐧$.
  • Цилиндрическая. В качестве координат точки рассматривают полярные координаты $(r,\phi )$ вектора $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}$ на плоскости $\pi$ и длину вектора $h=|\overrightarrow{A^{\prime }A}|$.
  • Сферическая. Координатами точки $A$ называются длина вектора $r=|\overrightarrow{OA}|$, угол $\phi$ между вектором $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}$ и полярной осью и угол $\theta$ между векторами $\overrightarrow{OA}$ и $𝐧$.

Проекции

Пусть на плоскости дана прямая $l$ и прямая $l^{\prime }$, непараллельная ей. Тогда через произвольную точку $A$ плоскости можно провести прямую $l{\text{'}}_A$, параллельную прямой $l^{\prime }$. Она пересекает прямую $l$ в точке $A_l$, которую называют проекцией точки $A$ на прямую $l$ вдоль прямой $l^{\prime }$. Если прямые $l$ и $l^{\prime }$ перпендикулярны, то проекцию называют прямоугольной.

Аналогично, пусть в пространстве даны прямая $l$ и плоскость ${\lambda }^{\prime }$, непараллельная ей. Тогда для любой точки $A$ пространства определены:

1. проекция $A_l$ на прямую $l$ вдоль плоскости ${\lambda }^{\prime }$ — точка пересечения прямой $l$ с плоскостью $\lambda {\text{'}}_A$, проведенной через точку $A$ параллельно плоскости ${\lambda }^{\prime }$;
2. проекция $A_{{\lambda }^{\prime }}$ на плоскость ${\lambda }^{\prime }$ вдоль прямой $l$ — точка пересечения плоскости ${\lambda }^{\prime }$ с прямой $l_A$, проведенной через точку $A$ параллельно прямой $l$.

Если прямая $l$ перпендикулярна плоскости ${\lambda }^{\prime }$, то проекцию называют прямоугольной.

Пусть дан вектор $𝐚$. Отложим его от некоторой точки $O$, получится вектор $𝐚=\overrightarrow{OM}$. Спроектируем начало и конец вектора на прямую $l$ вдоль прямой $l^{\prime }$ (плоскости ${\lambda }^{\prime }$), получим точки $O^{\prime },M^{\prime }$. Вектор ${𝐚}^{\prime }=\overrightarrow{O^{\prime }{M}^{\prime }}$ называется проекцией вектора $𝐚$ на прямую $l$ вдоль прямой $l^{\prime }$ (плоскости ${\lambda }^{\prime }$), обозначается ${𝐚}^{\prime }={\mathrm{p}\mathrm{r}}_l^{l^{\prime }}𝐚$.

Проверим корректность этого определения, то есть независимость вектора ${𝐚}^{\prime }$ от выбора точки $O$.

Рассмотрим случай плоскости. Для этого спроектируем вектор $\overrightarrow{OM}$ на прямую $l^{\prime }$. Получим вектор ${𝐚}^{″}=\overrightarrow{O{\text{'}}_{1}M{\text{'}}_1}$. Ясно, что по построению $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O^{\prime }{M}^{\prime }}+\overrightarrow{O{\text{'}}_{1}M{\text{'}}_1}$ или

$𝐚={𝐚}^{\prime }+{𝐚}^{″}$.

Чтобы определение проекции не зависело от точки $O$ достаточно показать, что разложение вектора $>a$ в виде суммы векторов, параллельных прямым $l$ и $l^{\prime }$ единственно. Возьмем другое такое представление:

$𝐚={𝐛}^{\prime }+{𝐛}^{″}$

Тогда

$({𝐚}^{\prime }-{𝐛}^{\prime })+({𝐚}^{″}-{𝐛}^{″})=0$

Значит векторы ${𝐚}^{\prime }-{𝐛}^{\prime }$ и ${𝐚}^{″}-{𝐛}^{″}$ линейно зависимы, а значит коллинеарны. С другой стороны, первый из этих векторов параллелен прямой $l$, а второй — прямой $l^{\prime }$. Это возможно только тогда, когда оба эти вектора нулевые. Значит, разложение вектора на плоскости в виде суммы двух векторов, параллельных двум пересекающимся прямым, единственно.

Аналогично можно доказать, что в пространстве единственно разложение вектора в виде суммы двух векторов, один из которых параллелен прямой, а второй — плоскости, пересекающейся с данной прямой.

Связь проекций с координатами

На плоскости

Рассмотрим базис ${𝐞}_1,{𝐞}_2$. Проекцией вектора $𝐚$ на вектор ${𝐞}_1$ параллельно вектору ${𝐞}_2$ называется вектор ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_{{𝐞}_1}^{{𝐞}_2}𝐚={\mathrm{p}\mathrm{r}}_{l_1}^{l_2}𝐚$, где прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны векторам ${𝐞}_1$ и ${𝐞}_2$ соответственно.

Можно записать

$𝐚={\mathrm{p}\mathrm{r}}_{{𝐞}_1}^{{𝐞}_2}𝐚+{\mathrm{p}\mathrm{r}}_{{𝐞}_2}^{{𝐞}_1}𝐚$

С другой стороны, поскольку векторы ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_{{𝐞}_1}^{{𝐞}_2}a$ и ${𝐞}_1$ параллельны, то можно записать ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_{{𝐞}_1}^{{𝐞}_2}𝐚={\alpha }_1{𝐞}_1$. Число ${\alpha }_1$ называют алгебраическим значением проекции вектора $𝐚$ на вектор ${𝐞}_1$ параллельно вектору ${𝐞}_2$.

Получается, что

$𝐚={\alpha }_1{𝐞}_1+{\alpha }_2{𝐞}_2$

Другими словами, координаты вектора $𝐚$ относительно базиса ${𝐞}_1,{𝐞}_2$ — это алгебраические значения проекций вектора $𝐚$ на векторы ${𝐞}_1,{𝐞}_2$.

В пространстве

Рассмотрим базис ${𝐞}_1,{𝐞}_2,{𝐞}_3$. Построим плоскости ${\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3$ такие, что

• ${\pi }_1$ параллельна векторам ${𝐞}_2$ и ${𝐞}_3$
• ${\pi }_2$ параллельна векторам ${𝐞}_3$ и ${𝐞}_1$
• ${\pi }_3$ параллельна векторам ${𝐞}_1$ и ${𝐞}_2$

Назовем эти плоскости базисными.

Рассмотрим разложение вектора $𝐚$ по векторам базиса

$𝐚={\alpha }_1{𝐞}_1+{\alpha }_2{𝐞}_2+{\alpha }_3{𝐞}_3$

Вектор ${\alpha }_1{𝐞}_1$ параллелен вектору ${𝐞}_1$, а вектор ${\alpha }_2{𝐞}_2+{\alpha }_3{𝐞}_3$ параллелен плоскости ${\pi }_1$. Поэтому ${\alpha }_1{𝐞}_1={\mathrm{p}\mathrm{r}}_{{𝐞}_1}^{{\pi }_1}𝐚$. Аналогично, ${\alpha }_2{𝐞}_2={\mathrm{p}\mathrm{r}}_{{𝐞}_2}^{{\pi }_2}𝐚$ и ${\alpha }_3{𝐞}_3={\mathrm{p}\mathrm{r}}_{{𝐞}_3}^{{\pi }_3}𝐚$.

Таким образом, координаты вектора $𝐚$ относительно базиса ${𝐞}_1,{𝐞}_2,{𝐞}_3$ — это алгебраические значения проекций вектора $𝐚$ на базисные векторы параллельно базисным плоскостям.

Деление отрезка в данном отношении

Пусть заданы две точки $A$ и $B$ своими аффинными координатами $(a_1,a_2,a_3)$ и $(b_1,b_2,b_3)$ и отношение $\frac{\lambda }{\mu }$. Найдем аффинные координаты $(x_1,x_2,x_3)$ такой точки $X$ отрезка $AB$, что $\frac{|AX|}{|XB|}=\frac{\lambda }{\mu }$.

Поскольку $\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{XB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OX}$, то координаты этих векторов равны $\{x_1-a_1,x_2-a_2,x_3-a_3\}$ и $\{b_1-x_1,b_2-x_2,b_3-x_3\}$.

С другой стороны эти векторы сонаправлены и известно соотношение их модулей, поэтому

$\mu \overrightarrow{AX}=\lambda \overrightarrow{XB}$

Что эквивалентно следующим трем уравнениям

$\mu (x_i-a_i)=\lambda (b_i-x_i)i=1,2,3$

Их решение

$x_i=\frac{\mu a_i+\lambda b_i}{\lambda +\mu }$

См. также

Задачи