Производные, дифференциалы

Производная и ее свойства. Правила вычисления производной. Уравнения касательной и нормали к кривой.

Производная и её свойства

Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности $U(x)$ точки $x$. Пусть $\mathrm{\Delta }x$ - приращение аргумента в точке $x$, такое что $(x+\mathrm{\Delta }x)\in U(x)$. Тогда соответствующее приращение функции: $\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ определены в $U(x)$.

Уравнение касательной и нормали

$y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ - уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(x_0,f(x_0))$

$y=f(x_0)-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$ - уравнение нормали к графику функции $f(x)$ в точке $(x_0,f(x_0))$

Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

Пусть функция $f(x)$ определена на $(a,b)$ и дифференцируема в каждой точке этого интервала. Тогда на интервале $(a,b)$ определена функция $f^{\prime }(x)$. Пусть функция $f^{\prime }(x)$ дифференцируема в некоторой точке $x_0\in (a,b)$, то есть $\mathrm{\exists }(f^{\prime }(x){)}^{\prime }$. Тогда эта производная называется производной второго порядка функции $f(x)$ в точке $x_0$.

$f^{″}(x)=(f^{\prime }(x){)}^{\prime }$ ; $f^{(n)}(x)=(f^{(n-1)}(x){)}^{\prime }$

Пусть функция $f(x)$ задана и дифференцируема на некотором интервале $(a,b)$, тогда $\mathrm{\exists }dy$ для $\mathrm{\forall }x\in (a,b)$, причем $dy=f^{\prime }(x)dx$. Заметим, что функция $dy$ - это функция двух переменных $x$ и $dx$. Рассмотрим функцию $dy$ как функцию переменной $x$ (фиксируем $dx$). Пусть $f^{\prime }(x)$ имеет производную в некоторой точке $x_0\in (a,b)$. Тогда функция $dy$ имеет дифференциал в точке $x_0$.

Аналогично определим дифференциа любого порядка. Пусть функция $y=f(x)$ дифференцируема $(n-1)$ раз на интервале $(a,b)$ и $\mathrm{\exists }{f}^{(n)}(x_0)$ для некоторой точки $x_0\in (a,b)$.

Формула Тейлора.

Пусть функция $y=f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, тогда $\mathrm{\Delta }y=\mathrm{A}\mathrm{\Delta }x+\epsilon (\mathrm{\Delta }x)$, где $\mathrm{\Delta }y=y-y_0;\mathrm{\Delta }x=x-x_0;\mathrm{A}=f^{\prime }(x_0)$; $\epsilon (\mathrm{\Delta }x)$ - бесконечно малая более высокого порядка чем $\mathrm{\Delta }x$.

$\begin{array}{c}y=y_0+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\epsilon (\mathrm{\Delta }x)\\ y=P_1(x)+\epsilon (\mathrm{\Delta }x)\end{array}$

где $P_1(x)-$линейная функция, причем $P_1(x_0)=y_0$.

Можно расписать, что $y(x)=P_1(x)+\overline{\stackrel{‾}{o}}(x-x_0)$, т.е в окрестности точки $x_0$ функция $f(x)$ ведет себя как линейная. Поставим более общую задачу: для функции $y=f(x)$ найти многочлен порядка $n$, который обладает следующими свойствами:

$f(x_0)=P_n(x_0),f^{\prime }(x_0)=P_{n^{\prime }}(x_0),f^{″}(x_0)=P_{n^{″}}(x_0),f^{(n)}(x_0)=P_n^{(n)}(x_0)$

Многочлен $P_n(x)$ будем писать в виде

$P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+...+a_n(x-x_0{)}^n$

Тогда:

$\begin{array}{ccccc}{P}_n(x_0)& =& a_0& =& f(x_0)\\ P_{n^{\prime }}(x_0)& =& 1!a_1& =& f^{\prime }(x_0)\\ P_{n^{″}}(x_0)& =& 2!a_2& =& f^{″}(x_0)\\ ⋮\\ P_n^{(n)}(x_0)& =& n!a_n& =& f^{(n)}(x_0)\end{array}$

Первые равенства получаются путем дифференцирования формулы для $P_n(x)$ и подстановки $x=x_0$. Вторые равенства - это требуемые свойства многочлена.

Поскольку у $f(x)$ существует производная до n порядка включительно $\Rightarrow$ можно найти коэффициенты $a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!},k=0,1,2..$

Многочлен $P_n(x)$, $a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$ , $P{}_n(x)=\sum _{k=0}^n{a}_x(x-x_0{)}^k$ - многочлен Тейлора для функции f(x).

Обозначим $r_n(x)=f(x)-P_n(x)\begin{array}{c}{r}_n(x_0)=f(x_0)-P_n(x_0)=0\\ r_{n^{\prime }}(x_0)=f^{\prime }(x_0)-P_{n^{\prime }}(x_0)=0\\ r_n^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)-P_n^{(n)}(x_0)=0\end{array}$

Рассмотрим функцию $\phi (x)=(x-x_0{)}^n$ и вычислим

$\begin{array}{c}\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}\frac{r_n(x)}{\phi (x)}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}\frac{r_n(x)}{(x-x_0{)}^n}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}\frac{r_{n^{\prime }}(x)}{n(x-x_0{)}^{n-1}}=\left[\frac{0}{0}\right]\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}\frac{r_{n^{″}}(x)}{n(n-1)(x-x_0{)}^{n-2}}\left[\frac{0}{0}\right]...=\\ =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}\frac{r_n^{(n)}(x)}{n!}=\frac{r_n^{(n)}(x_0)}{n!}=0\Rightarrow \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}\frac{r_n(x)}{(x-x_0{)}^n}=0\Rightarrow r_n(x)=\overline{\stackrel{‾}{o}}((x-x_0{)}^n)\end{array}$

Т.о получим $f(x)=P_n(x)+\overline{\stackrel{‾}{o}}((x-x_0{)}^n)$, $r_n(x)$ - остаточный член формулы Тейлора.

Пусть функция $f(x)$ определена на интервале $(a,b)$ и в каждой точке $x_0$ принадлежащей интервалу $(a,b)$ имеем производную до $n$ порядка включительно, тогда

$f(x)=P_n(x)+\overline{\stackrel{‾}{o}}((x-x_0{)}^n)$, где $P{}_n(x)=\sum _{k=0}^n{a}_k(x-x_0{)}^k,a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$