Первообразная

Первообрáзной или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции $f$ называют такую $F$, производная которой (на всей области определения) равна $f$, то есть $F^{\prime }=f$. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Так, например, функция $F(x)=\frac{x^3}{3}$ является первообразной $f(x)=x^2$. Так как производная константы равна нулю, $x^2$ будет иметь бесконечное количество первообразных, таких как $x^3/3+45645$ или $x^3/3-36$ и Шаблон:Nobr; таким образом семейство первообразных функции $x^2$ можно обозначить как $F(x)=x^3/3+C$, где $C$ — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения $C$.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если $F$ — первообразная интегрируемой функции $f$, то:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a).$

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции $f$ называют неопределённым интегралом (общим интегралом) $f$ и записывают в виде интеграла без указания пределов:

$\int f(x)dx$

Если $F$ — первообразная $f$, и функция $f$ определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная $G$ отличается от $F$ на константу: всегда существует число $C$, такое что $G(x)=F(x)+C$ для всех $x$. Число $C$ называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция $f$ имеет первообразную $F$, одна из которых представляется в виде интеграла от $f$ с переменным верхним пределом:

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt.$

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, $f(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$ с $f(0)=0$ не непрерывна при $x=0$, но имеет первообразную $F(x)=x^{2}sin\frac{1}{x}$ с $F(0)=0$.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

$\int e^{-x^2}dx,\int \frac{\sin (x)}{x}dx,\int \frac{1}{\ln x}dx$.

Более развёрнутое изложение этих фактов см. в дифференциальной теории Галуа.

Свойства первообразной

• Первообразная суммы равна сумме первообразных
• Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
• Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции $f$ является непрерывность $f$ на этом отрезке
• Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции $f$ первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу
• У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Техника интегрирования

Шаблон:Main Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов:

• линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части,
• интегрирование через подстановку, часто применяемое вместе с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом,
• интегрирование по частям для операций с произведениями функций,
• метод обратной цепочки, особый случай интегрирования по частям,
• метод интегрирования рациональных дробей позволяет интегрировать любые рациональные функции (дроби с полиномами в числителе и знаменателе),
• алгоритм Риша - алгоритм для интегрирования любых элементарных функций,
• некоторые интегралы можно найти в таблице интегралов,
• при многократном интегрировании можно использовать дополнительную технику, для примера см. двойной интеграл и полярные координаты, Якобиан и теорема Стокса,
• Системы компьютерной алгебры помогают автоматизировать некоторые вышеприведённые символьные операции (в частности алгоритм Риша), что очень удобно, когда алгебраические вычисления становятся слишком громоздкими,
• если функция не имеет элементарной первообразной (как, например, $\exp (-x^2)$), её интеграл может быть вычислен приближённо с помощью численного интегрирования.

Другие определения

Это определение является наиболее распространенным, но встречаются и другие, в которых ослаблены требования существования всюду конечной $F^{\prime }$ и выполнения всюду равенства $F^{\prime }(x)=f(x)$, иногда в определении используют обобщения производной.

Определение первообразной через предел $n$-ой производнойШаблон:Нет АИ

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x),$ если будет существовать предел для функции $f^{(n)}(x),$ являющейся производной $n$-го порядка для функции $f(x),$ то есть

$F(x)=\underset{n\to -1}{\lim }{f}^{(n)}\left(x\right).$

Теорема. Данное определение эквивалентно основному определению.

В самом деле,

$F^{\prime }(x)=(\underset{n\to -1}{\lim }{f}^{(n)}\left(x\right){)}^{\prime }=\underset{n\to -1}{\lim }{f}^{(n+1)}\left(x\right)=f^{(0)}(x)=f(x).$

Пример 1. Вычислим первообразную для функции $f(x)=x^m.$

И так,

$f^{\prime }(x)=m{x}^{m-1},f^{″}(x)=m(m-1)x^{m-2},f^{‴}(x)=m(m-1)(m-2)x^{m-3},...,f^{(n)}(x)=m(m-1)(m-2)...(m-(n-1))x^{m-n}$ при условии, что $m⩾n.$

Поскольку

$m(m-1)(m-2)...(m-(n-1))=\frac{m(m-1)(m-2)...(m-(n-1))(m-n)(m-(n+1))...2\cdot 1}{(m-n)(m-(n+1))...2\cdot 1}=\frac{m!}{(m-n)!}.$

Получаем

$F(x)=\underset{n\to -1}{\lim }{f}^{(n)}\left(x\right)=\underset{n\to -1}{\lim }\frac{m!}{(m-n)!}{x}^{m-n}=\frac{x^{m+1}}{m+1}.$

Пример 2. Вычислим первообразную для функции $f(x)=\sin x.$

$f^{\prime }(x)=\cos x=\sin (x+1\cdot \frac{\pi }{2}),$

$f^{″}(x)=-\sin x=\sin (x+2\cdot \frac{\pi }{2}),$

$f^{‴}(x)=-\cos x=\sin (x+3\cdot \frac{\pi }{2}),$

$f^{IV}(x)=\sin x=\sin (x+4\cdot \frac{\pi }{2}),$

$...$

$f^{(n)}(x)=\sin (x+n\cdot \frac{\pi }{2}).$

$F(x)=\underset{n\to -1}{\lim }{f}^{(n)}\left(x\right)=\underset{n\to -1}{\lim }\sin (x+n\cdot \frac{\pi }{2})=\sin (x-\frac{\pi }{2})=-\cos x.$

Ссылки

• Интересные примеры нахождения неопределенных интегралов
• Первообразная как интеграл Ньютона-Лейбница с переменным верхним пределом
• Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
• Mathematical Assistant on Web — символьные вычисления онлайн
• Онлайн Калькулятор Интегралов

См. также

• Список интегралов элементарных функций