Определители и их свойства

Определение.

$A=\Vert a_{i,j}\Vert$ - матрица размера $n\times n$.

Определителем называется сумма вида:

$|A|=\sum _{({\alpha }_1,{\alpha }_2\dots {\alpha }_n)}(-1{)}^{\rho ({\alpha }_1,{\alpha }_2\dots {\alpha }_n)}{a}_{1,{\alpha }_1}{a}_{2,{\alpha }_2}\dots a_{n,{\alpha }_n}$

где $\rho$ - число инверсий (Инверсией в перестановке $\pi :X\to X$ порядка $n$ называется всякая пара индексов $i,j$ такая, что $1\le i<j\le n$ и $\pi (i)>\pi (j)$) в перестановке $({\alpha }_1,{\alpha }_2\dots {\alpha }_n)$.

Свойства определителей.

• Перестановка строк меняет знак определителя.

• Если все элементы строки $|A|$ умножить на число k, то сам $|A|$ умножится на k.

• Если все элементы i-ой строки $|A|$ представить в виде суммы двух слагаемых, то $|A|=|A_1|+|A_2|$.

• Признаки равенства $|A|=0$.

• если одна из строк $|A|$ состоит из 0, то $|A|=0$.
• если в $|A|$ есть две одинаковые строки, то $|A|=0$.
• если в $|A|$ две строки пропорциональны, то $|A|=0$.
• если в $|A|$ какой-либо столбец является линейной комбинацией других столбцов, то $|A|=0$.

• Прибавление одной строки к другой.

• если к какой-либо строке прибавить другую строку, умноженную на число, то $|A|$ не изменится.
• $|A|$ не изменится, если к какому либо столбцу прибавить линейную комбинацию других столбцов.