Метрические и топологические пространства

Метрические пространства

Множество $M\ne \varnothing$ называется метрическим пространством, если на множестве $M\times M$ введена функция: $\rho :M\times M\to ℝ$, удовлетворяющая аксиомам:

1. $\rho (x,y)\ge 0,(\rho (x,y)=0\iff x=y)$
2. $\rho (x,y)=\rho (y,x)\mathrm{\forall }x,y\in M$
3. $\rho (x,y)\le \rho (x,z)+\rho (z,y)\mathrm{\forall }x,y,z\in M,\rho$ - метрика

$\rho (x,y)$ - расстояние между $x$ и $y$

Пусть есть последовательность $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset M,x\in M$

$x_n\to x$ при $n\to \mathrm{\infty }\iff \rho (x_n,x)\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$ Шаблон:Определение

Шаблон:Определение В полных пространствах понятие фундаментальности и сходимости эквивалентно.

Принцип сжимающих отображений

Пусть есть отображение $A$, метрического пространства $M$ в себя $A:M\to M$ Точка $x$ называется неподвижной точкой отображения $A$, если $Ax=x$. Шаблон:Определение

Примеры применения принципа сжимающих отображений

1. Решение нелинейных уравнений:$x=\varphi (x),|\varphi (x_1)-\varphi (x_2)|\le q|x_1-x_2|$, $0\le q<1\Rightarrow |{\varphi }^{\prime }(x)|\le q<1,\mathrm{\forall }x$
2. Система линейных алгебраических уравнений:$x=Bx+x$; $x\in {ℝ}^m$, $B(x\times m)$, $c\in {ℝ}^m$. В роли метрического пространства выступает $M={ℝ}^m$. Введем метрику: $\rho (x,y)=\Vert x-y\Vert$. Чтобы применить ПСО надо привести к виду $x=\varphi (x)$. В данном случае $\varphi (x)=Bx+c$; $\rho (\varphi (x),\varphi (y))=\Vert Bx-By\Vert =\Vert B(x-y)\Vert \le \Vert B\Vert \cdot \Vert x-y\Vert$. Чтобы был применим принцип ПСО потребуем $q=\Vert B\Vert <1$, тогда $\mathrm{\exists }!$ решение СЛАУ
3. Линейное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода:

$U(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}k(x,s)U(s)ds+f(x),x\in [a,b]$, некоторой величиной является $U(x)$. Заданы $k(x,s)$ - ядро, $f(x)$ - правая часть.

В качестве метрического пространства возьмем $M=C[a,b]$.

Предполагаем: $U\in M,k\in C({[a,b]}^2),f\in M$

$S(U,V)=\max [a,b]|U(x)-V(x)|$ - метрика пространства $M$.

Имеем: $U=\varphi (U),\varphi =\underset{a}{\overset{b}{\int }}k(x,s)U(s)ds$

Рассмотрим: $\rho (\varphi (U),\varphi (V))=\max x\in [a,b]|\underset{a}{\overset{b}{\int }}k(x,s)(U(s)-V(s))ds|\le \underset{q}{\underbrace{\max x\in [a,b]\underset{a}{\overset{b}{\int }}|k(x,s)ds|}}\max x\in [a,b](U(x)-V(x))$

Если $0<q<1\Rightarrow \mathrm{\exists }!$ решение $U$ интегрального уравнения.

Гильбертовы пространства. Ортонормированные системы. Ряды Фурье и их свойства. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.

Скалярным произведением в вещественном (унитарном) линейном пространстве $E$ называется вещественнозначная (комплекснозанчная) функция $(x,y)$, определенная на $E\times E$ и обладающая свойствами:

1. $(x,y)=(y,x)x,y\in E((x,y)=\overline{(y,x)}\mathrm{\forall }x,y\in E)$
2. $(x_1+x_2,y)=(x_1,y)+(x_2,y)\mathrm{\forall }{x}_1,x_2,y\in E$
3. $(\lambda x,y)=\lambda (x,y)\mathrm{\forall }x,y\in E\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ(\mathrm{\forall }\lambda \in ℂ)$
4. $(x,x)\ge 0\mathrm{\forall }x\in E,(x,x)=0\iff x=0$

Вещественное (комплексное) линейное пространство $E$ с введенными в нем скалярным произведением называется евклидовым (унитарным) пространством. Всякое евклидовое (унитарное) пространство $E$ является нормированным с нормой: $\Vert x\Vert =(x,x{)}^{\frac{1}{2}}$

Полное бесконечно мерное евклидово (унитарное) пространство $H$ Называется гилбертовым пространством.

$\{e_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ - ортонормированная система в $H$

$(e_n,e_k)=0,n\ne k,\Vert e_n\Vert =1\mathrm{\forall }n$

$f\in H\to \underset{\text{Fourier series}}{\underbrace{\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}_n}},\underset{\text{Fourier koef.}}{\underbrace{c_n=(f,e_n)}}$; Обозначим: $S_n(f)=\sum _{n=1}^N(f,e_n)e_n$ - частичная сумма ряда Фурье. $L_N=Span\{e_1,...,e_N\}$ - замкнутое подпространство в $H$.

По свойствам ортогоального дополнения $f=g+h,g\in L_N,h\in L_N^{\mathrm{\perp }}$ Заметим, что $g=\sum _{n=1}^N{c}_n{e}_n,c_n=(f,e_n)$

Так как: $(f,e_n)=(g,e_n)+\underset{0}{\underbrace{(h,e_n)}},1\le n\le N\Rightarrow (f,e_n)=(g,e_n)=(\sum _{n-1}^N{c}_n{e}_n,e_n)\Rightarrow c_n=(f,e_n)$

$\Vert f-S_N(f)\Vert \le \Vert f-y\Vert ,y\in L_N$

Рассмотрим $\Vert S_N(f)\Vert :\Vert S_N(f){\Vert }^2=\Vert \sum _{n=1}^N{c}_n{e}_n{\Vert }^2=\sum _{n=1}^N|c_n{|}^2$

Таким образом имеем:

$f=S_N(f)+(f-S_N(f));\Vert f{\Vert }^2=\Vert S_N(f){\Vert }^2+\Vert f-S_N(f){\Vert }^2$ (так как $(S_N(f),f-S_N(f))=0$, потому что $S_N(f)=g\in L_N$, а $(f-S_N(f))=h\in L_N^{\mathrm{\perp }}$) Шаблон:Утверждение Шаблон:Доказательство Шаблон:Следствие