Комплексный анализ I/Билеты/Преобразование Фурье рациональных функций

Лемма Жордана. Преобразование Фурье рациональных функций.

Лемма. (Жордан)

$⊐$ $f\in C(\{\mathrm{Im}z>0,|z|>r\});\underset{z\in {\gamma }_R}{\max }|f(z)|\to 0$ при $R\to \mathrm{\infty }$ (${\gamma }_R$ это верхние полуокружности окружностей $|z|=R>r$).

Тогда $\mathrm{\forall }a>0\underset{{\gamma }_R}{\int }f(z)e^{iaz}dz\to 0$ при $R\to \mathrm{\infty }$.

Доказательство. Сделаем в интеграле $\underset{{\gamma }_R}{\int }f(z)e^{iaz}dz$ замену $z=R{e}^{i\phi },\phi \in [0,\pi ]$:

$\underset{{\gamma }_R}{\int }f(z)e^{iaz}dz={\int }_0^{\pi }f\left(R{e}^{i\phi }\right)e^{iaR{e}^{i\phi }}iR{e}^{i\phi }d\phi \le \underset{z\in {\gamma }_R}{\max }|R{\int }_0^{\pi }{e}^{-aR\sin \phi }d\phi =\underset{z\in {\gamma }_R}{\max }||(z)|2R{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{-aR\sin \phi }d\phi ⩽$

$\le \underset{z\in {\gamma }_R}{\max }|f(z)|2R{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{-\frac{2}{\pi }aR\phi }d\phi =\underset{z\in Y_R}{\max }|f(z)|2R{\frac{e^{-\frac{2}{\pi }aR\phi }}{-\frac{2}{\pi }aR}|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\underset{z\in {\gamma }_R}{\max }|f(z)|{\frac{e^{-\frac{2}{\pi }aR\phi }}{-\frac{a}{\pi }}|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\underset{Z\in {\gamma }_R}{\max }|f(z)|\frac{\pi }{a}(1-e^{-aR})$

$\underset{z\in {\gamma }_R}{\max }|f(z)|\frac{\pi }{a}(1-e^{-aR})\to 0$ при $R\to \mathrm{\infty },a>0$

Преобразование Фурье рациональных функций

$R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)},\mathrm{deg}Q>\mathrm{deg}P,R(z)$ имеет на $ℝ$ только полюсы первого порядка.

$\lambda \in ℝ;\hat{R}(\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{ℝ}{\int }R(x)e^{-i\lambda x}dx$ (интеграл в смысле главного значения).

Выкинем вокруг каждого полюса на действительной оси (обозначим их за $b_k$) $\epsilon$–окрестность и запишем интеграл как предел:

(минус здесь изза того, что мы обходим контур так, что область остаётся справа от нас)

$\hat{R}(\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}(-2\pi i\sum _{Im{a}_k<0}\mathrm{res}(R(x)e^{-i\lambda x})-{\sum }_{k=1}^n\pi i{\mathrm{res}}_{b_k}(R(x)e^{-i\lambda x}))$ при $\lambda >0$

Получаем формулу для преобразования Фурье:

$\hat{R}(\lambda )=\{\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}(2\pi i\sum _{Im{a}_k>0}\mathrm{res}(R(x)e^{-i\lambda x})+\sum _{k=1}^n\pi i\mathrm{res}(R(x)e^{-i\lambda x})),\lambda <0\\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }}(-2\pi i\sum _{\mathrm{Im}{a}_k<0}\mathrm{res}(R(x)e^{-i\lambda x})-\sum _{k=1}^n\pi i{\mathrm{res}}_{b_k}(R(x)e^{-i\lambda x})),\lambda >0\end{array}$

Isbur (обсуждение) 16:07, 26 марта 2019 (UTC)