Комплексный анализ I/Билеты/Основные элементарные функции

Определение. $⊐D\subset \overline{ℂ}$– область, $f:D\to ℂ$называется однолистной в $\text{D}$,если $\mathrm{\forall }{Z}_1,Z_2\in Df\left(z_1\right)=f\left(z_2\right)\iff z_1=z_2$.

Определение. Область $D\subset \overline{ℂ}$ называется максимальной областью однолистности для $f$, если:

1. $f$ определена в $D$ и однолистна в ней;
2. $\mathrm{\exists }{D}^{\prime }\supset D:f$ определена на $D^{\prime }$ и однолистна в ней.

Основные элементарные функции

Степенная функция

$\begin{array}{c}{z}^n,n\in N\\ z=r(\cos \phi +i\sin \phi )\\ z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )\\ z^n:ℂ\to ℂ\end{array}$

$z_1^n=z_2^n\iff \{\begin{array}{c}\left|z_1\right|=\left|z_2\right|\\ n\arg z_1\equiv n\arg z_2(mod2\pi )\end{array}\iff \{\begin{array}{cc}\left|z_1\right|=\left|z_2\right|& (1)\\ \arg z_1-\arg z_2=\frac{2\pi k}{n},k\in Z& (2)\end{array}$

$D$ максимальная область однолистности для $z^n⟺\mathrm{\exists }{z}_1,z_2\in D:$ выполняются (1) и (2).

Пример.

Корень n-ой степени

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\mathrm{Arg}z}{n}+i\sin \frac{\mathrm{Arg}z}{n})$ – $n$-значная функция.

$\sqrt[n]{z}=w\Rightarrow z=w^n⟹|z|(\cos \phi +i\sin \phi )=|w{|}^n(\cos (n\arg w)+i\sin (n\arg w))$

Определение. $⊐D$ область, $F:D\to {ℂ}^{n(or\mathrm{\infty })}$; функция $f$ называется ветвью $F$,если $\mathrm{\forall }z\in Df(z)\in F(z)$.

Примечание. Не всегда можно выделить непрерывную ветвь.

Пример. У $\sqrt{Z}$ не существует непрерывной ветви в $ℂ$.

Функция Жуковского

$\mathrm{J}(z)=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z}):\overline{ℂ}\to \overline{ℂ}$

$\begin{array}{c}\mathrm{J}(\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty }\\ \mathrm{J}(0)=\mathrm{\infty }\end{array}$

$J\left(z_1\right)=J\left(z_2\right)\iff z_1{z}_2=1(\mathrm{\infty }*0=1)$

$D$ является областью однолистности $\iff z_1,z_2\in D:z_1{z}_2=1$.

Таким образом, максимальными областями однолистности являются внутренность единичной окружности и её внешность, причём переходят они под действием функции Жуковского в одно и то же множество. Так, для любой точки $a$ внутри единичной окружности есть точка $\frac{1}{a}$ вне этой окружности,а $\mathrm{J}(a)=\mathrm{J}\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})$. Выясним,что это за область, например, выясним, во что перейдёт внутренность единичной окружности $|r|<1$:

$\mathrm{J}(z)=J(r(\cos \phi +i\sin \phi ))=\frac{1}{2}(r(\cos \phi +i\sin \phi )+\frac{1}{r}(\cos \phi -i\sin \phi ))=$

$=\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})\cos \phi +i\frac{1}{2}(r-\frac{1}{r})\sin \phi$

Эти точки при фиксированном $r$ и изменении $\phi$ образуют эллипс с полуосями:

$\begin{array}{c}a=\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})\mathrm{H}b=\frac{1}{2}(\frac{1}{r}-r)\\ a^2-b^2=1\end{array}$

При приближении $r$ к нулю $a$ стремится к бесконечности, следовательно, так как $a^2-b^2=1$, $b$ тоже стремится к бесконечности, то есть получаются расширяющиеся эллипсы,а при приближении $r$ к единице $b$ стремится к нулю, то есть в пределе получается эллипс с полуосями 1 и 0, то есть отрезок $[-1,1]$; в итоге получается, что функция Жуковского переводит внутренность единичной окружности и её внешность во всю плоскость, кроме отрезка $[-1,1]$.

Функция, обратная функции Жуковского

${\mathrm{J}}^{-1}(z)=z+\sqrt{z^2-1}$ двузначная функция.

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}(w+\frac{1}{w})=z\\ w^2-2wz+1=0\\ w=z+\sqrt{z^2-1}\end{array}$

Пример. Область, в которой у функции, обратной функции Жуковского, выделяется непрерывная ветвь: $D=ℂ\mathrm{\setminus }[-1,1]$.

Одна ветвь переводит эту область обратно во внутренность единичной окружности,а другая во внешность единичной окружности.

Экспонента

$\begin{array}{c}z=x+iy\\ e^z:=e^x(\cos y+i\sin y):ℂ\to ℂ\mathrm{\setminus }\{0\}\end{array}$

Поищем области однолистности для экспоненты:

$e^{z_1}=e^{z_2}\iff \{\begin{array}{c}{e}^{x_1}=e^{x_2}\iff x_1=x_2\\ y_1-y_2=2\pi n,n\in Z\end{array}$

Следовательно, $D$ область однолистности для $e^z\iff \mathrm{\exists }{z}_1,z_2\in D:z_1-z_2=2\pi ni$, то есть примером максимальной области однолистности может быть любая горизонтальная бесконечная полоса высотой $2\pi$, и экспонента переводит её во всю плоскость без положительного луча действительной прямой. Докажем это, рассмотрев какой-нибудь вертикальный отрезок, входящий в нашу полосу. Пусть это будет отрезок от точки $(x_0,y_0)$ до точки $(x_0,y_0+2\pi )$. Экспонента переведёт его в кривую, задаваемую формулой $e^{x_0}(\cos y+i\sin y)$,где $y\in (y_0,y_0+2\pi )$, а это есть окружность с выколотой правой точкой радиуса $e^{x_0}$. Так как $x_0$ можно выбрать от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$, то этот радиус может меняться в пределах $(0,+\mathrm{\infty })$, то есть эти окружности с выколотыми точками заполнят всю плоскость, кроме положительного луча действительной оси. Заметим, что из определения видно, что экспонента $2\pi i$-периодична.

Логарифм

$\mathrm{Ln}z=\ln |z|+i\mathrm{Arg}z$ бесконечнозначная функция (в данном случае счётнозначная)

$\begin{array}{c}{e}^w=z\\ e^{Rew}(\cos (\mathrm{Im}w)+i\sin (\mathrm{Im}w))=|z|(\cos (\mathrm{Im}z)+\sin (\mathrm{Im}z))\\ \mathrm{Re}w=\ln |z|\\ \mathrm{Im}z=\mathrm{Arg}z\end{array}$

Пример. Область,в которой выделяется непрерывная ветвь:

$\begin{array}{c}ℂ\mathrm{\setminus }[0,+\mathrm{\infty })\\ \ln |z|+i\arg z\in \mathrm{Ln}z\end{array}$

Тригонометрические функции

$\begin{array}{cc}\sin z& :=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\\ \cos z& :=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\end{array}$

Все тригонометрические формулы остаются верными. Вспомним гиперболические функции:

$\begin{array}{cc}\mathrm{ch}z& :=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\\ \mathrm{sh}z& :=\frac{e^z-e^{-z}}{2}\end{array}$

Видно, что гиперболические и тригонометрические функции связаны так:

$\begin{array}{cc}\cos z& =\mathrm{ch}iz\\ \sin z& =\frac{\mathrm{sh}iz}{i}\end{array}$

$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\frac{1}{2}(\frac{e^{iz}}{i}+\frac{i}{e^{iz}})=J\left(\frac{e^{iz}}{i}\right)$

$\sin z_1=\sin z_2\iff [\begin{array}{c}{e}^{i{z}_1}=e^{i{Z}_2}\\ \frac{e^{i{z}_1}}{i}*\frac{e^{i{z}_2}}{i}=1\end{array}\iff [\begin{array}{c}i{z}_1=i{z}_2+2\pi ki,k\in Z\\ e^{i(z_1+z_2)}=-1\end{array}\iff$

$\iff [\begin{array}{c}{z}_1-z_2=2\pi k,k\in Z\\ i(z_1+z_2)=\mathrm{Ln}(-1)=i(\pi +2\pi n),n\in Z\end{array}\iff [\begin{array}{c}{z}_1-z_2=2\pi k,k\in Z(1)\\ z_1+z_2=\pi +2\pi n,n\in Z(2)\end{array}$

Получается, область $D$ будет максимальной областью однолистности тогда и только тогда, когда $\mathrm{\exists }{Z}_1,Z_2\in D$, что для них выполнены условия 1 и 2.

Пример максимальной области однолистности:

Посмотрим,во что её переводит синус:

image

Докажем правильность последнего перехода. Известно,что единичный круг переходит во всю плоскость без отрезка $[-1,1]$. Осталось понять, куда переходит отрезок $[0,i]$:

$J(iy)=\frac{1}{2}(iy+\frac{1}{iy})=\frac{i}{2}(y-\frac{1}{y}),\text{ где }0\le y\le 1$

При этом $\frac{1}{2}(y-\frac{1}{y})$ меняется в пределах $(-\mathrm{\infty },0]$, значит, $J(iy)$ меняется в пределах $(-\mathrm{\infty },0]$ по нижней мнимой полуоси, что и требовалось доказать.