Комплексный анализ I/Билеты/Мероморфные функции

Функции, мероморфные в $ℂ$. Достаточное условие разложимости мероморфной в $ℂ$ функции в ряд из главных частей рядов Лорана в полюсах. Пример: $(\pi \mathrm{ctg}\pi z)/z$.

Определение. $f\in M(ℂ)$, если $f\in O\left(ℂ\mathrm{\setminus }\{a_1,\dots ,a_n,\dots \}\right)$, где $a_1,\dots ,a_n,\dots$ полюсы, и их не более чем счётное число.

Примечание. В дальнейшем считаем, что $\left|a_1\right|\le \left|a_2\right|\le \left|a_3\right|\le \cdots$$b$

Рассмотрим функции $G_n(z)={\sum }_{k=1}^{N(n)}\frac{C_k^{(n)}}{{(z-a_k)}^k}$, то есть главные части рядов Лорана в полюсах $f(z)$. Зададимся вопросом: верно ли, что $f(z)={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_n(z)$?

Рассмотрим случаи:

1) полюсов конечное число: $a_1,\dots ,a_n$ (какой то из них может быть равен $\mathrm{\infty }$)

$f(z)-{\sum }_{m=1}^n{G}_m(z)\in O(\overline{ℂ})\Rightarrow f(z)-{\sum }_{m=1}^n{G}_m(z)\in C(\overline{ℂ})\Rightarrow f(z)-{\sum }_{m=1}^n{G}_m(z)$ ограничена на $\overline{ℂ}$.

Cледовательно, по теореме Лиувилля, $f(z)-{\sum }_{m=1}^n{G}_m(z)=const$. Мы получили, что $f(z)={\sum }_{m=1}^n{G}_m(z)+\mathrm{const}$.

Утверждение. $f\in M(\overline{ℂ})\Rightarrow f$ рациональная функция, и $f(z)={\sum }_{m=1}^n{G}_m(z)+const$

2) полюсов бесконечное число: ${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},a_n\to \mathrm{\infty }$

Лемма. $⊐\gamma \subset ℂ$ замкнутый спрямляемый жорданов контур, на котором нет $a_k$. Тогда $\mathrm{\forall }z\in Int\gamma$

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi =f(z)-\sum _{m:a_m\in \ln t}{G}_m(z)$

Доказательство.

$f(z)-\sum _{m:a_{m\in Int}y}{G}_m(z)\in O(Int\gamma )$

По интегральной формуле Коши:

$f(z)-\sum _{m:a_m\in Int\gamma }{G}_m(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(\xi )-\sum _{m:a_m\in Int\gamma }{G}_m(\xi )}{\xi -z}d\xi$

Осталось доказать, что $\mathrm{\forall }z\in Int\gamma$ $0=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{\sum _{m:a_m\in \mathrm{Int}\gamma }{G}_m(\xi )}{\xi -z}d\xi$

$\frac{\sum _{m:a_m\in \mathrm{Int}\gamma }{G}_m(\xi )}{\xi -z}$ имеет особые точки $a_m\in \mathrm{Int}\gamma$ и ещё точку $z$.

По теореме о вычете в бесконечности:

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{\sum _{m:a_m\in \mathrm{Int}\gamma }{G}_m(\xi )}{\xi -z}d\xi =-{\mathrm{res}}_{\mathrm{\infty }}\frac{\sum _{m:a_m\in \mathrm{Int}\gamma }{G}_m(\xi )}{\xi -z}$

Нам нужен коэффициент при $\frac{1}{\xi }$ из ряда Лорана на бесконечности.

$\mathrm{\forall }m{G}_m(\xi )=\frac{C_{-1}}{\xi }+\cdots$

$\frac{G_m(\xi )}{\xi -z}=\frac{C_{-1}}{{\xi }^2}+\cdots$

Получается, что коэффициент при $\frac{1}{\xi }=0$.

Следствие. $⊐f\in M(ℂ),{\gamma }_n$ простые спрямляемые жордановы контуры:

а) $\mathrm{\forall }n$ на ${\gamma }_k$ нет полюсов;

б) $\mathrm{Int}{\gamma }_1\subset \mathrm{Int}{\gamma }_2\subset \cdots ,\bigcup \mathrm{Int}{\gamma }_n=ℂ$

в) $\frac{1}{2\pi i}\underset{{\gamma }_n}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi \rightrightarrows 0$ на $ℂ$

Тогда $f(z)={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_n(z)\mathrm{\forall }z\in \{a_1,a_2,\dots \}$ и ряд равномерно сходится на $ℂ\mathrm{\setminus }\{a_1,a_2,\dots \}$.

Пример. $\frac{\pi \mathrm{ctg}\pi z}{z}$

Применим следствие из леммы:

$n=0:\frac{\pi \mathrm{ctg}\pi Z}{z}=\frac{1}{z^2}+\frac{C_{-1}}{z}+C_0+\cdots ,C_{-1}=0$, так как $\frac{\pi \mathrm{ctg}\pi z}{z}$ чётная функция; значит, $G_0(z)=\frac{1}{z^2}$

$n\ne 0:{\mathrm{res}}_n\frac{\pi \cos \pi z/z}{\sin \pi z}=\frac{\pi \cos \pi n/n}{\pi \cos \pi n}=\frac{1}{n}\Rightarrow G_n(z)=\frac{1/n}{z-n}$

Isbur (обсуждение) 16:07, 26 марта 2019 (UTC)